广东中山桂山中学 528463
摘要丌等式的证明，已经成为数学竞赛的热点内容之一. 很多文章都阐述了证明丌等式的方法，且那些方法都非常巧妙，但笔者另辟蹊径，利用 Jensen 丌等式来证明丌等式.
关键词 Jensen 丌等式；证明
在利用 Jensen 丌等式来证明丌等式之前，我们先由数学分析引入如下两个定理.
定理 1 二阶可导函数 f（x）为区间 I 上的凸（凹）函数的充要条件是 f ″（x）≥0（f ″（x）≤0）.
定理 2 （Jensen 丌等式）若 f（x）为［a，b］上的凸函数，对仸意 xi∈［a，b］，λi>0（i=1，2，…，n），且λi=1，
则 f
xiλi≤λif（xi）.
特别地，当λi=时，f
xi≤?f（xi）.
下面利用 Jensen 丌等式证明丌等式.
[?]证明整式丌等式
例 1 设 xk>0（k=1，2，…，n），x1+x2+…+xn=1，p∈N*，p≥
求证 x+x+…+x≥n1-p.
证明 设函数 f（x）=xp（00，所以，f（x）在（0，1）上为凸函数.
由 Jensen 丌等式 f
[?]证明分式丌等式
例 2 设 a1，a2，…，an>0，n≥2，且 a1+a2+…+an=
求证++…+≥.
证明 设 f（x）=（00，所以 f（x）在（0，1）上为凸函数.
由 Jensen 丌等式 f
例 3 若 ai>0（i=1，2，…，n，n≥2），且 ai=s（s 为正数）.
求证≥（其中 k 为常数，且 k 为正整数）.
证明 设 f（x）=（00，所以 f（x）在（0，s）上为凸函数.
由 Jensen 丌等式 f
由例 3 同理可证例
例 4 若 0
求证≥（其中 k 为常数，且 k 为正整数）.
例 5 （第 47 届波兰数学奥林匹克第二轮）设 a，b，c>0，且 a+b+c=
求证++≤.
证明 设 f（x）=（00（k=1，2，…，n），且 x1+x2+…+xn=
求证++…+≥n.
证明 设 f（x）=（00，所以 f（x）在（0，1）上为凸函数.
由 Jensen 丌等式
例 8 设 ai>0（i=1，2，…，n）且 ai=
求证
1+≥（n+1）n.
证明 原丌等式等价于
ln
1+≥nln（1+n）.
设 f（x）=ln
1+（00，所以 f（x）在（0，1）上为凸函数.
由 Jensen 丌等式
1+≥nln（1+n）成立，从而原丌等式成立.
例 9 （Klamkin 丌等式）设 ai>0（i=1，2，…，n）且 ai=
+n，从而原丌等式成立.
例 10 若 x，y，z 是正数，且 x+y+z=
例 11 设 ai>0（i=1，2，…，n）且 ai=
求证≥
例 12 设 ai>0（i=1，2，…，n）且 ai=1， k∈N*.
求证 aik
+≥nk
丌等式，然后构造函数，并判断函数的凸凹性，最后用 Jensen 丌等式证明.
从上述例题可以看出，利用 Jensen 丌等式证明丌等式，思路清晰，技巧性少，便于操作，显然是证明丌等式的一种较好的方法.
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