二次方程根的分布 一元二次方程 02 c bx ax 根的分布情况 设方程 20 0 ax bx c a 的不等两根为1 2, x x 且1 2x x ，相应的二次函数为 20 f x ax bx c ，方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）
分布情况 两个负根即两根都小于 0 1 20, 0 x x
两个正根即两根都大于 0 1 20, 0 x x
一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0 1 20 x x
大致图象（0 a）
得出的结论 0020 0baf 0020 0baf 0 0 f
大致图象（0 a）
得出的结论 0020 0baf 0020 0baf 0 0 f 综合结论（不讨论a）
0020 0baa f 0020 0baa f 0 0 f a
表二：（两根与 k 的大小比较）
分布情况 两根都小于 k 即
k x k x 2 1,
两根都大于 k 即
k x k x 2 1,
一个根小于 k ，一个大于 k 即
2 1x k x
大致图象（0 a）
得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0 k f
大致图象（0 a）
得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0 k f
综合结论（不讨论a）
020bkaa f k 020bkaa f k 0 k f a
kkk
表三：（根在区间上的分布）
分布情况 两根都在 n m, 内 两根有且仅有一根在 n m, 内 （图象有两种情况，只画了一种）
一根在 n m, 内，另一根在 q p,内， q p n m
大致图象（0 a）
得出的结论 0002f mf nbm na 0 n f m f
0000f mf nf pf q 或 00f m f nf p f q 大致图象（0 a）
得出的结论 0002f mf nbm na 0 n f m f
0000f mf nf pf q 或 00f m f nf p f q 综合结论（不讨论a）
—————— 0 n f m f
00q f p fn f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 n m, 外，即在区间两侧1 2, x m x n ，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）
0 a 时， 00f mf n ；
（2）
0 a 时， 00f mf n 根的分布题型 型 例 1、已知二次方程 22 1 2 1 0 m x mx m 有一正根和一负根，求实数 m 的取值范围。
例 2、已知方程 22 1 0 x m x m 有两个不等正实根，求实数 m 的取值范围。
例 3、已知二次函数 22 2 4 3 3 y m x m x m 与 x 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实数m 的取值范围。
练习：
1、已知二次方程 22 3 4 0 mx m x 只有一个正根且这个根小于 1，则实数 m 的取值范围
。
2、方程 22 2 0 mx m x 在区间 1,3 上有一根，则实数 m 的取值范围
。
3、已知方程 0 1 22 x ax 至少有一个正跟，则 a 的取值范围为
4、已知方程 0 1 22 mx mx 有一根大于 1，另一个根小于 1，则实数 m 的取值范围为
5、已知方程 0 2 ) 3 (2 a x a ax 的两个不同根都小于 1，则实数 a 的取值范围为