备战 2021 新高考数学命题分析与探究 命题 19
平面向量的数量积和平面向量的应用 第一部分
命题点展示与分析 点 命题点 1 命题方向 命题难度 平面向量的数量积及其运算律 向量数量积相关概念、性质和运算律的辨析 容易 求向量的数量积的 3 种常规方法 容易 向量数量积几何意义的巧妙应用 一般 公式(a+b) 2 =a 2 ±2a·b+b 2 的应用 容易 命题方向一向量数量积相关概念、性质和运算律的辨析
命题方向二求向量的数量积的 3 种常规方法
解
命题方向三向量数量积几何意义的巧妙应用
命题方向四公式(a+b) 2 =a 2 ±2a·b+b 2 的应用
点 命题点 2 命题方向 命题难度 利用向量的数量积运算将向量等式数量化 直接平方法和移项平方法 容易 向量等式两边与同一向量作点乘 容易 命题方向五直接平方法和移项平方法
命题方向六向量等式两边与同一向量作点乘
点 命题点 3 命题方向 命题难度 平面向量数量积的应用 平面向量的垂直问题 容易 平面向量模的相关问题 一般 平面向量的夹角问题 一般 命题方向七平面向量的垂直问题
命题方向八平面向量模的相关问题
命题方向九平面向量的夹角问题
10.【2020 年高考全国Ⅲ卷理数 6】已知向量 满足 ,则 (
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】
, , , . , 因此 .故选 D. 第二部分
命题点素材与精选 1.已知 ABC 是边长 3 的等边三角形,点 D , E 分别是 AB , BC 上的点,且13AD AB ,23BE BC ,连接 DE 并延长到点 F ,使得 DE EF ,则 AF BC的值为(
)
A.32
B.92 C.32 D.92
【答案】C 【解析】作示意图如图所示:
设 , a AB b AC ,则1 3| | 3,| | 3, 3 32 2a b a b , 由13AD AB ,23BE BC ,得 // DE AC ,且23DE AC ,又 DE EF , 则43DF AC ,即43DF b ,又13AD a ,得1 43 3AF AD DF a b , BC AC AB b a , 则1 4( ) ( )3 3A BC a F b b a 2 2 1 43 3a a b b
1 3 4 33 33 2 3 2 . 故选:C. 2.已知 ABC 为等边三角形,则 cos, AB BC (
) A.32
B.12
C.12 D.32 【答案】B 【解析】
由图发现 , AB BC 的夹角不是 B Ð 而是其补角23,2 1cos , cos3 2AB BC
3.在 ABC 中,, D E 分别为 , BC AB 的中点, F 为 AD 的中点,若· 1 AB AC , 2 2 AB AC ,则
· CE AF 的值为( )
A.34 B.38 C.18 D.14 【答案】B 【解析】因为1 1( )2 4AF AD AB AC ,12CE AE AC AB AC ,所以2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3( )( ) 4 ( 1)4 2 8 8 4 8 8 4 8CE AF AB AC AB AC AB AB AC AC ,应选答案B. 4.若两个向量 , a b 的夹角是23, a 是单位向量, 2 b ,2 c a b ,则向量 c 与 b 的夹角为(
)
A.6 B.3 C.23 D.34 【答案】B 【解析】因为两个向量 , a b 的夹角是23, a 是单位向量, 2 b , 可得2 2cos 1 2 cos 13 3a b a b , 又由2 c a b ,所以2 22(2 ) 4 4 4 4 4 2 c a b a a b b , 所以2(2 ) 2 2 4 2 c b a b b a b b , 设向量 c 与 b 的夹角为 ,其中 [0, ] , 则2 1cos2 2 2c bc b ,可得3 , 即向量 c 与 b 的夹角为3. 故选:B. 5.已知向量( ) ( )1, , 2, 1 a x b = = - ,若 ab ,则 x _______ 【答案】
2
【解析】因为向量 ( ) ( )1, , 2, 1 a x b = = - ,若 ab ,∴2 0 a b x , 则 2 x . 故答案为:2. 6.如图,在△ABC 中,已知 AB=2,AC=4,A=60°.若 D为 BC 边上的任意一点,M 为线段 AD的中点,则 ( ) MB MC AD 的最大值是_____.
【答案】7 【解析】由余弦定理得2 2 21+ 2 cos 4+16 2 4 2 122BC AB AC AC AB A ,2 2 2, AC AB BC AB BC , 所以以 B 为原点 , BC 所在直线为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系 , 则 (0 0) (2 3,0), (0,2) B C A ,, ,(2 0) D x, ,( ,1),0 3 M x x , , (2 3 2 , 2), (2 , 2) MB MC x AD x , 223( ) 2 (2 3 2 ) 4 4 4 3 4 4 72MB MC AD x x x x x , , 当32x 时, ( ) MB MC AD 的最大值,最大值是 7. 故答案为:7.
7.在 Rt ABC 中, 4 AB , 2 AC , P 为斜边 BC 上靠近点 B 的三等分点, O 为 BC 边的中点,则 AP AO的值为__________. 【答案】183 【解析】由已知可知:0 AB AC ,1( )2AO AB AC ,1 1 2 1( )3 3 3 3AP AB BP AB BC AB AC AB AB AC , 所以2 22 22 1 1 1 1 1 1 1 18( ) 4 23 3 2 3 2 3 6 3 6AP AO AB AC AB AC AB AC AB AC , 故答案为:183.
8.已知 ABC 的三边长 3 AC , 4 BC , 5 AB ,P 为 AB 边上任意一点,则 CP BA BC 的最大值为______________. 【答案】9 【解析】根据题意,如图建立直角坐标系,
∴ 0,3 A
4,0 B , 0,0 C , ∴ 4, 3 AB , 0,3 4 , 3 4 ,3 3 CP CA AP CA AB , 0,1 , ∴ 4 ,3 3 0,3 9 9 0,9 CP BA BC CP CA
∴ CP BA BC 的最大值为 9 . 故答案为:
9
. 9.如图所示, ABD 为正三角形, 2 2 AD DC ,则 AD CB __________.
【答案】-4 【解析】如图建立平面直角坐标系,
易知:
A 1,0 D 1,0 C 2,0 B 0 3 , , , , , ∴ 2,0 2, 3 AD CB ,
∴4 AD CB 故答案为 4
10.已知 (cos2 ,1) a x , (1,sin 1) b x ,,3x ,则 a b的取值范围是_____________. 【答案】171,8 【解析】因为 (cos2 ,1) a x , (1,sin 1) b x , 所以2cos2 sin 1 2sin sin 2 a b x x x x 21 172 sin4 8x 因为 ,3x ,所以 sin [0,1] x , 所以当1sin4x 时,21 172 sin4 8x 有最大值178, 当 sin 1 x 时,21 172 sin4 8x 有最小值 1, 所以171,8a b ,故答案为:171,8