1 17 离心率
例 1:已知双曲线 ( , )的焦距为 ,其与抛物线交于 , 两点, 为坐标原点,若 为正三角形,则 的离心率为(
)
A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】设 的边长为 ,由抛物线和双曲线均关于 轴对称, 可设 , , 又 ,故 , 所以 ,故 . 又 ,即 ,解得 ,则 ,故选 C.
例 2:设椭圆 的离心率为 ,焦点在 轴上且长轴长为 ,若曲线 上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于 ,则曲线 的标准方程为(
)
A.
B.
C.
D. 【答案】A 【解析】因为椭圆焦点在 轴上且长轴长为 ,所以 , 又因为椭圆 的离心率为 ,所以 , 因为曲线 上的点到椭圆 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 , 2 22 2: 1x yCa b 0 a 0 b 423:3E y x A B O OAB △ C22322 3OAB △ 2mx( 3 , ) A m m ( 3 , ) B m m 2333m m 1 m ( 3,1) A2 23 11a b 2 c2 24 a b 2 a b 2cea 1C513x262C1C82C2 22 214 3x y 2 22 2113 5x y 2 22 213 4x y 2 22 2113 12x y x26 13 a 1C5135 c2C1C 81、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 2、根据离心率求圆锥曲线的标准方程
所以 , , , 所以曲线 的标准方程为 ,故选 A.
例 3:设 是椭圆 的离心率,且 ,则实数 的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D. 【答案】D 【解析】当焦点在 轴时 ,∴ ,∴ , 当焦点在 轴时 ,∴ , 所以实数 的取值范围是 ,故选 D.
一、选择题 1.已知椭圆 的中心在原点,焦点在 轴上,且短轴的长为 ,离心率等于 ,则该椭圆的标准方程为(
)
A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】设椭圆 标准方程为 , 4 a 5 c2 2 23 b c a 2C2 22 214 3x y e2 214x yk 1( ,1)2e k(0,3)16(3, )3(0,2)16(0,3) ( , )3x4 1( ,1)2kek 4 1( ,1)4kk16( , )3k y4 1( ,1)2 2ke (0,3) kk16(0,3) ( , )3Cy22 552 2120 4x y 2 2120 4y x 2215yx 2215xy C2 22 21( 0)y xa ba b 3、根据离心率求参数的值或取值范围
∵短轴长为 ,∴ ,解得 . ∵离心率 ,又 ,∴ , ∴椭圆 的标准方程为 ,故选 C. 2.已知椭圆 :
的左、右焦点分别为 , ,离心率为 ,过的直线 交 于 , 两点,若 的周长为 ,则 的方程为(
)
A.
B.
C.
D. 【答案】D 【解析】由椭圆的定义,知 , , 所以 的周长为 ,所以 , 因为椭圆的离心率 ,所以 , 所以 ,所以椭圆 的方程为 ,故选 D. 3.设双曲线 的实轴长为 ,则该双曲线的离心率为(
)
A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】根据 表示双曲线,可得 , , 又 ,即 ,所以 ,所以 , 又因为 ,即 ,所以 ,所以 , 2 2 2 b 1 b2 55cea 2 2 2 21 a b c c 25 a C2215yx C2 22 21( 0)x ya ba b 1F2F232Fl C A B1AFB △12 C2213xy 2 213 2x y 2 219 4x y 2 219 5x y 1 22 AF AF a 1 22 BF BF a 1AFB △1 2 1 24 12 AF AF BF BF a 3 a23cea 2 c2 2 25 b a c C2 219 5x y 2 22112 1 5x ym m 8533554742 22112 1 5x ym m 2 212 a m 5 1 b m 2 8 a 4 a 212 16 m 2 m5 1 0 m 15m 2 m25 2 1 9 b
所以 ,所以 ,所以离心率 ,故选 C. 4.设 是椭圆 的离心率,且 ,则实数 的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】由 , , 可得:
当 时, ,由条件知 ,解得 ; 当 时, ,由条件知 ,解得 , 故选 B. 5.已知椭圆 的左、右焦点分别为 , ,点 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点, 为 的内心,且 ,若椭圆的离心率为 ,则 (
)
A.
B.
C.
D. 【答案】A 【解析】设 内切圆的半径为 , 则 , , . ∵ ,∴ , 整理得 , ∵ 为椭圆上的点,∴ ,解得 ,故选 A. 2 2 216 9 25 c a b 5 c54cea e2 218x yk 1( ,1)2e k(0,6)32(0,6) ( , )316(0,3) ( , )3 (0,2)1( ,1)2e22c cea a 2 2 2c a b 8 k 28 c k 1 812kk 323k 0 8 k 28 c k 1 812 8k 0 6 k 2 22 21( 0)x ya ba b 1F2FPI1 2PFF △1 1 2 2IPF IF F IPFS S S △ △ △e 1e2ee2e1 2PFF △ r1112IPFS r PF △2212IPFS r PF △1 21 212IF FS r FF △1 1 2 2IPF IF F IPFS S S △ △ △1 1 2 21 12 2 2r PF r FF r PF 1 2 1 2FF PF PF P 2 2 c a 1e
二、填空题 6.以双曲线 ( , )的右焦点 为圆心, 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切,则该双曲线的离心率为
. 【答案】
【解析】由题意得 , 又 ,则 ,所以离心率为 , 故答案为 . 7.已知 , 为椭圆 的两个焦点, 为椭圆上一点,且 ,则此椭圆离心率的取值范围是
. 【答案】
【解析】设 ,则 ,① 将 代入①式,解得 . 又 ,即 , ∴ ,∴ ,故答案为 .
三、解答题 8.已知椭圆 与直线 交于 , 两点,且 , 其中 为坐标原点. (1)求 的值; 2 22 21x ya b 0 a 0 b Fa2a b 2 2 2 22 c a b a 2 c a 2cea 21 (,0) F c 2 ( ,0)F c2 22 21( 0)x ya ba b P21 2PF PF c 3 2[ , ]3 2( , ) P x y2 2 2 21 2( , ) ( , ) PF PF c x y c x y x c y c 22 2 22by b xa 2 2 2 2 2 222 2(2 ) (3 ) c b a c a axc c 2 2[0, ] x a 2 2 222(3 )0c a aac 2 2 22 3 c a c 3 2[ , ]3 2cea 3 2[ , ]3 22 22 21( 0)x ya ba b 1 x y PQ2 21 12a b OOP OQ
(2)若椭圆长轴的取值范围为 ,求椭圆的离心率 的取值范围,并求出 取最小值时的椭圆方程. 【答案】(1)
0 ;(2)
, . 【解析】(1)设 , , 联立 ,得 , 又 ,故 , 由韦达定理得 , , 则
. (2)由 ,得 ,∴ , 又 ,故 , 又 ,故 , 则 的最小值为 ,则此时 ,故 , 又因为 ,则 , , 则椭圆方程为 .
[ 5, 6]e e3 23 2e 2 24 615 5x y 1 1( , ) P x y2 2( , ) Q x y2 22 211x ya bx y 22 2 2 21 1 2 1( ) 1 0 x xa b b b 2 21 12a b 22 22 12 1 0 x xb b 1 221x xb 1 221 12 2x xb 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(1 )(1 ) 2 ( ) 1 OP OQ x x y y x x x x x x x x 2 21 1 12( ) 1 02 2 b b 2 21 12a b 2222 1aba2 2 2 222 2 2 211 12 1c a b bea a a a 2 [ 5, 6] a21 1[ , ]3 2e 0 1 e 3 23 2e e332 213c a 2 2 2 223b a c a 2 21 12a b 254a 256b 2 24 615 5x y