相交线与平行线 章末重难点题型
点 【考点 1
点到直线的距离】
】
【方法点拨】从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
【例 1】（2019 春•厦门期末）如图，三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，则下列说法错误．．的是（
）
A．点 A 到直线 BC 的距离为线段 AB 的长度 B．点 A 到直线 CD 的距离为线段 AD 的长度
C．点 B 到直线 AC 的距离为线段 BC 的长度 D．点 C 到直线 AB 的距离为线段 CD 的长度 【变式 1-1】（2019 春•雨花区期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，则下面的结论中正确的是（
）
①BC 与 AC 互相垂直；②AC 与 CD 互相垂直；③点 A 到 BC 的垂线段是线段 BC；④点 C 到 AB 的垂线段是线段 CD；⑤线段 BC 是点 B 到 AC 的距离；⑥线段 AC 的长度是点 A 到 BC 的距离．
A．①④③⑥ B．①④⑥ C．②③ D．①④
【变式 1-2】（2019 春•娄星区）如图所示，点 A 到 BC 所在的直线的距离是指图中线段（
）的长度．
A．AC B．AF C．BD D．CE 【变式 1-3】（2019 春•天河区校级月考）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有（
）
①线段 CD 的长度是 C 点到 AB 的距离；②线段 AC 是 A 点到 BC 的距离； ③AB＞AC＞CD；④线段 BC 是 B 到 AC 的距离；⑤CD＜BC＜AB．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 点 【考点 2
相交线的交点问题】
】
【方法点拨】3 条直线相交最多有 3 个交点，4 条直线相交最多有 6 个交点，5 条直线相交最多有 10 个交点，n 条直线相交，最多有 1+2+3+…+（n﹣1）＝21n（n﹣1）个交点． 【例 2】（2019 秋•旌阳区校级月考）在同一平面内的 n 条直线两两相交，最多共有 36 个交点，则 n＝（
）
A．7 B．8 C．9 D．10 【变式 2-1】（2019 秋•鄄城县期末）两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有 6 个交点，……，那么 7 条直线最多（
）
A．28 个交点 B．24 个交点 C．21 个交点 D．15 个交点 【变式 2-2】（2019 春•沙坪坝区校级月考）同一平面内两两相交的四条直线，最多有 m 个交点，最少有 n个交点，那么 m n 是（
）
A．1 B．6 C．8 D．4 【变式 2-3】（2019 秋•江阴市校级月考）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示：两条直线相交，最多有一个交点；三条直线相交，最多有三个交点；四条直线相交，最多有 6 个交点，像这样，11 条直线相交，最多交点的个数是（
）
A．40 个 B．50 个 C．55 个 D．66 个
点 【考点 3
同位角、内错角、同旁内角的判断】
】
【方法点拨】直线 AB，CD 被第三条直线 EF 所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的 8 个角之间有三种特殊关系：
* * 同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 的同侧，在第三条直线 EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；
* * 内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 之间，在第三条直线 EF 的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；
* * 同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 之间，在第三条直线 EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；
【例 3】（2019 春•巴州区校级期中）如图，下列说法中错误的是（
）
A．∠3 和∠5 是同位角 B．∠4 和∠5 是同旁内角
C．∠2 和∠4 是对顶角 D．∠2 和∠5 是内错角 【变式 3-1】（2019 春•西湖区校级月考）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（
）
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角 【变式 3-2】（2019 春•闵行区期中）如图，同位角共有（
）对．
A．6 B．5 C．8 D．7
【变式 3-3】（2019 春•九龙坡区校级期中）如图，下列结论正确的是（
）
A．∠4 和∠5 是同旁内角 B．∠3 和∠2 是对顶角
C．∠3 和∠5 是内错角 D．∠1 和∠5 是同位角 点 【考点 4
平行线公理及其推论】
】
【方法点拨】平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。
【例 4】（2018 春•城关区校级月考）下列说法中，正确的是（
）
A．两条不相交的直线叫平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．若直线 a∥b，a∥c，则 b∥c
D．两条直线不相交就平行 【变式 4-1】（2019 春•张店区期末）已知在同一平面内，有三条直线 a，b，c，若 a∥b，b∥c，则直线 a与直线 c 之间的位置关系是（
）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．平行或相交 【变式 4-2】（2019 春•龙泉驿区期中）下列说法正确的是（
）
A．a，b，c 是直线，且 a∥b，b∥c，则 a∥c B．a，b，c 是直线，且 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c
C．a，b，c 是直线，且 a∥b，b⊥c，则 a∥c D．a，b，c 是直线，且 a∥b，b∥c，则 a⊥c
【变式 4-3】（2019 春•邱县期末）下列语句：
①不相交的两条直线叫平行线 ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行 ③如果线段 AB 和线段 CD 不相交，那么直线 AB 和直线 CD 平行 ④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行 ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行 正确的个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
点 【考点 5
利用平行线的性质求角】
】
【方法点拨】两条直线平行则同位角、内错角相等，同旁内角互补. 【例 5】（2019 春•涧西区校级月考）如图所示，将含有 30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2 的度数（
）
A．28° B．22° C．32° D．38° 【变式 5-1】（2019 春•西湖区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2 的度数为（
）
A．68° B．58° C．48° D．32° 【变式 5-2】（2018 秋•襄汾县期末）如图，某江段江水流向经过 B、C、D 三点拐弯后与原来方向相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE 的度数为（
）
A．20° B．25° C．35° D．50° 【变式 5-3】（2018 秋•方城县期末）将 AD 与 BC 两边平行的纸条 ABCD 按如图所示折叠，则∠1 的度数为（
）
A．72° B．45° C．56° D．60° 点 【考点 6
平行线的判定】
】
【方法点拨】两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：
平行线判定定理 1：同位角相等，两直线平行
平行线判定定理 2：内错角相等，两直线平行 平行线判定定理 3：同旁内角互补，两直线平行 平行线判定定理 4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行 【例 6】（2019 春•西湖区校级月考）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线 l 1 ∥l 2 的有（
）
A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④ 【变式 6-1】（2019 春•西湖区校级月考）如图，点 E 在 AC 的延长线上，对于给出的四个条件：
（1）∠3＝∠4； （2）∠1＝∠2； （3）∠A＝∠DCE； （4）∠D+∠ABD＝180°．能判断 AB∥CD 的有（
）．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式 6-2】（2019 春•南关区校级月考）如图，下列条件，其中能判定 AB∥CD 的有（
）
①∠1＝∠2； ②∠BAD＝∠BCD； ③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4； ④∠BAD+∠ABC＝180°．
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
【变式 6-3】（2019 春•吴江区期中）以下四种沿 AB 折叠的方法中，由相应条件不一定能判定纸带两条边线 a，b 互相平行的是（
）
A．展开后测得∠1＝∠2
B．展开后测得∠1＝∠2 且∠3＝∠4
C．测得∠1＝∠2
D．测得∠1＝∠2 点 【考点 7
垂线段在生活中的应用】
】
【方法点拨】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【例 7】（2019 秋•泰兴市期末）如图，在直线 MN 的异侧有 A、B 两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据． （1）在直线 MN 上取一点 C，使线段 AC 最短．依据是
． （2）在直线 MN 上取一点 D，使线段 AD+BD 最短．依据是
．
【变式 7-1】（2019 秋•北仑区期末）如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短并说明根据．
【变式 7-2】（2019 春•召陵区期中）如图所示，码头、火车站分别位于 A，B 两点，直线 a 和 b 分别表示铁路与河流． （1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由； （2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由； （3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
【变式 7-3】（2019 秋•延庆县期末）如图，点 P，点 Q 分别代表两个村庄，直线 l 代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路 l 上的某处设置一个公交站． （1）若考虑到村庄 P 居住的老年人较多，计划建一个离村庄 P 最近的车站，请在公路 l 上画出车站的位置（用点 M 表示），依据是
； （2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄 P 和村庄 Q 的距离之和最小，请在公路 l 上画出车站的位置（用点 N 表示），依据是
．
点 【考点 8
利用平行线的判定及性质证明平行】
】
【例 8】（2019 秋•涡阳县期中）已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）
【变式 8-1】（2019 春•江城区期中）如图，AD⊥BC 于 D，EF⊥BC 于 F，∠1＝∠2，AB 与 DG 平行吗？为什么？
【变式 8-2】（2019 春•怀宁县期末）如图，已知点 A．D，B 在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠E，试判断DE、BC 有怎样的位置关系，并说明理由．
【变式 8-3】（2019 春•明光市期末）如图：已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，请问 AB 与 DE 是否平行，并说明理由 ．
点 【考点 9
利用平行线的判定及性质证明角相等】
】
【例 9】如图，已知 BD⊥AC，EF⊥AC，点 D，F 是垂足，∠1＝∠2，求证：∠ADG＝∠C．
【变式 9-1】（2019 春•彭泽县期中）如图，已知：∠ABE+∠DEB＝180°，∠1＝∠2，则∠F 与∠G 的大小关系如何？请说明理由
【变式 9-2】（2019 春•惠阳区校级期中）如图，已知点 E、F 在直线 AB 上，点 G 在线段 CD 上，ED 与 FG交于点 H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD． （1）求证：CE∥GF； （2）试判断∠AED 与∠D 之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠D＝30°，求∠AED 的度数．
【变式 9-3】（2019 春•北流市期末）如图，∠1＝∠C，∠2+∠D＝90°，BE⊥FD 于 G，证明∠B＝∠C．
点 【考点 10
平行线中构造平行线】
】
【例 10】（2019 春•普宁市期中）已知 AB∥CD，点 P 为平面内一点，连接 AP、CP． （1）探究：
如图（1）∠PAB＝145°，∠PCD＝135°，则∠APC 的度数是
； 如图（2）∠PAB＝45°，∠PCD＝60°，则∠APC 的度数是
． （2）在图 2 中试探究∠APC，∠PAB，∠PCD 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展探究：当点 P 在直线 AB，CD 外，如图（3）、（4）所示的位置时，请分别直接写出∠APC，∠PAB，∠PCD 之间的数量关系．
【变式 10-1】（2019 春•桂平市期末）（1）如图①，∠CEF＝90°，点 B 在射线 EF 上，AB∥CD，若∠ABE＝130°，求∠C 的度数； （2）如图②，把“∠CEF＝90°”改为“∠CEF＝120°”，点 B 在射线 EF 上，AB∥CD．猜想∠ABE与∠C 的数量关系，并说明理由．
【变式 10-2】（2019 春•金水区校级期中）在综合与实践课上，老师计同学们以“两条平行线 AB，CD 和一块含 60°角的直角三角尺 EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图（1），若三角尺的 60°角的顶点 G 放在 CD 上，若∠2＝2∠1，求∠1 的度数； （2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点 E、G 分别放在 AB 和 CD 上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC 间的数量关系； （3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点 F 放在 CD 上，30°角的顶点 E 落在 AB 上．若∠AEG＝α，∠CFG＝β，则∠AEG 与∠CFG 的数量关系是什么？用含 α，β 的式子表示（不写理由）．
【变式 10-3】（2019 春•费县期中）如图 1，已知 AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； （1）若∠E＝60°，则∠F＝
； （2）请探索∠E 与∠F 之间满足的数量关系？说明理由； （3）如图 2，已知 EP 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，反向延长 FG 交 EP 于点 P，求∠P 的度数．