第七章 《复数》
综合测试 一、单选题 1．（2020·山东高考真题）2 i1 2i（
）
A．1 B．−1 C．i D．−i 【答案】D 【解析】
2 (2 )(1 2 ) 51 2 (1 2 )(1 2 ) 5i i i iii i i 故选：D 2．（2020·江西期末（理））已知 i 是虚数单位，复数12ii 的虚部为（
）
A．-1 B． i
C． 1
D． i
【答案】C 【解析】
2 2 (1 ) 2 (1 )11 (1 )(1 ) 2i i i i iii i i ，虚部为 1 ． 故选：C． 3．（2020·新疆期末）若 a 为实数,且 2 i3 i1 ia ,则 a （
）
A． 4
B． 3
C． 3
D． 4
【答案】D 【解析】
由题意可得 2 i 1 i 3 i 2 4i 4 a a
,故选 D. 4．（2020·山东临沂·期末）已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为 2,1 ， 1,b ，若1 2z z 是纯虚数，则 b （
）
A．2 B．12 C．12
D．－2 【答案】A
【解析】
由题意得：1 22 , 1 z i z bi ， 所以21 2(2 )(1 ) 2 2 2 (2 1) z z i bi bi i bi b b i ， 又1 2z z 是纯虚数，所以2 02 1 0bb ， 解得 2 b ， 故选：A. 5．（2014·福建高考真题（理））复数 3 2 z i i 的共轭复数 z 等于（
）
A．
2 3i B．
2 3i
C．
2 3i
D．
2 3i
【答案】C 【解析】
依题意可得 3 2, 2 3 z i z i .故选 C. 6．（2020·全国高考真题（文））若31 2i i z ，则 | |=z（
）
A．0 B．1 C．2
D．2 【答案】C 【解析】
因为31+2 1+2 1 z i i i i i ，所以2 21 1 2 z ． 故选：C． 7．（2019·全国高考真题（理））设复数 z满足 =1 i z ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（
）
A．2 2+1 1 ( ) x y
B．2 2( 1) 1 x y
C．2 2( 1) 1 y x
D．2 2( +1) 1 y x
【答案】C 【解析】
, ( 1) , z x yi z i x y i 2 2( 1) 1, z i x y 则2 2( 1) 1 y x ．故选 C． 8． （2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（文））已知复数z 满足 1 2 i z i （其中 i 为虚数单位），则 z （
）
A．2
B．2 C．1 D．4
【答案】A 【解析】
由 1 2 i z i 得2i 2i(1 i) 2 2i1 i1 i (1 i)(1 i) 2z ， 所以 | | | 1 | 1 1 2 z i . 故选：A. 9．（2010·山东高考真题（文））已知2 a ib ii
， , a bR ，其中 i
为虚数单位，则 + a b =（
）
A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】
因为222 22a i ai iai b ii i ， , a bR ， 所以2 21 1b ba a ，则 + 1 a b ，故选 B. 10．（2020·河南商丘·期末（理））设复数 2 cos sin z a a i （ i 为虚数单位）.若对任意实数 ，2 z ≤ ，则实数 a 的取值范围为（
）
A．10,5 B． 1,1
C．5 5,5 5 D．1 1,5 5 【答案】C 【解析】
因为对任意 ， 2 z ≤ ，则max2 z , cos sin 2 cos sin 2 1 5 z i a ai i a ai a ， 1 5 2 a ，解得5 55 5a . 故选：C. 二、多选题 11．（2020·胶州市教育局期末）已知复数 z 满足 (2 i) i z ( i 为虚数单位 ) ，复数 z 的共轭复数为 z ，则
（
）
A．3| |5z
B．1 2i5z
C．复数 z 的实部为 1
D．复数 z 对应复平面上的点在第二象限 【答案】BD 【解析】
因为复数 z 满足 (2 i) i z ， 所以 (2 ) 1 22 2 (2 ) 5 5i i iz ii i i 所以2 21 2 55 5 5z ，故 A错误；
1 25 5z i ，故 B正确； 复数 z 的实部为15
，故 C错误； 复数 z 对应复平面上的点1 2,5 5 在第二象限，故 D正确. 故选：BD 12．（2020·临高县临高中学高一期末）已知复数1 22 , 2 z i z i 则（
）
A．2z 是纯虚数 B．1 2z z 对应的点位于第二象限 C．1 23 z z
D．1 22 5 z z
【答案】AD 【解析】
利用复数的相关概念可判断 A 正确； 对于 B选项，1 22 3 z z i 对应的点位于第四象限，故 B 错； 对于 C选项，1 22 z z i ，则2 21 22 1 5 z z ，故 C错； 对于 D选项， 1 22 2 2 4 z z i i i ，则2 21 22 4 2 5 z z ，故 D正确. 故选：AD 13．（2020·海南枫叶国际学校期中）已知 i 为虚数单位，则下面命题正确的是（
）
A．若复数 3 i z ，则1 310 10iz ． B．复数 z 满足 2 1 z i ， z 在复平面内对应的点为 , x y ，则 222 1 x y ． C．若复数1z ，2z 满足21z z ，则1 20 z z ． D．复数 1 3 z i 的虚部是 3． 【答案】ABC 【解析】
由 1 1 3 33 i 3 i 3 i 10 10i iz ，故 A 正确； 由 z 在复平面内对应的点为 , x y ，则 2 2 1 z i x y i ，即 222 1 x y ， 则 222 1 x y ，故 B 正确； 设复数1z a bi ，则2z a bi ，所以 21220 a bi a b z bi z a ，故 C正确； 复数 1 3 z i 的虚部是-3，故 D 不正确. 故选：A、B、C 14．（2020·山东济南·高一期末）任何一个复数 z a bi （其中 a 、 b R ， i 为虚数单位）都可以表示成： cos sin z r i 的形式，通常称之为复数 z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现： n cos sin co i s snn nz i n r i r n n N ，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（
）
A．22z z
B．当 1 r ，3 时，31 z C．当 1 r ，3 时，1 32 2z i
D．当 1 r ，4 时，若 n 为偶数，则复数nz为纯虚数 【答案】AC 【解析】
对于 A选项， cos sin z r i ，则 2 2cos2 sin2 z r i ，可得 2 2 2cos2 sin2 z r i r ，
222cos sin z r i r ，A 选项正确； 对于 B选项，当 1 r ，3 时， 33cos sin cos3 sin3 cos sin 1 z i i i ，B选项错误； 对于 C选项，当 1 r ，3 时，1 3cos sin3 3 2 2z i i ，则1 32 2z i ，C选项正确； 对于 D选项， cos sin cos sin cos sin4 4nnn nz i n i n i ， 取 4 n ，则 n 为偶数，则4cos sin 1 z i 不是纯虚数，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题 15．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））已知 i是虚数单位，如图，在复平面内，点 A 对应的复数为1z ，若21ziz，则2z ________.
【答案】
2 i
【解析】
由题图可知，11 2 z i ，由21ziz，得 2 11 2 2 z zi i i i . 故答案为：
2 i . 16．（2020·湖北张湾·十堰东风高级中学月考）设复数 z 满足 3 4 1 z i ，则 z 的最大值是_______. 【答案】6 【解析】
设复数 ( , ) z x yi x y R ，则2 23 4 1, ( 3) ( 4) 1 x yi i x y ， 所以复数对应的点的轨迹为（3,4）为圆心半径为 1 的圆，
所以 z 的最大值是2 23 4 1 5 1 6 .故答案为 6 17．（2020·上海松江·期末）已知复数 z满足 1 z ，则 2 z i （其中 i是虚数单位）的最小值为____________. 【答案】1 【解析】
复数 z 满足 | | 1(z i 为虚数单位）， 设 cos sin z i ，[0 ， 2 )． 则2 2| 2 | |cos (sin 2)| (sin 2) 5 4sin 1 z i i cos … ，当且仅当 sin 1 时取等号． 故答案为：1． 四、双空题 18．（2020·江苏镇江·期末）已知 a， b R ， 1 2 3 ai b a i ，则 a ______，3 a bi ______. 【答案】
3
3 2
【解析】
∵ 1 2 3 ai b a i
∴12 3ba a ， 解得31ab ， 则 223 3 3 3 3 18 3 2 a bi i ， 故答案为：（1）
3 ；（2）
3 2
19．（2020·浙江高三月考）复数12zi ( i 为虚数单位)，则 z 的虚部为______， z
______. 【答案】15
55
【解析】
2 21 2 2 2 12 (2 )(2 ) 2 5 5i iz ii i i i ， 所以2 15 5z i
，2 22 1 1 55 5 5 5z ，
所以 2 15 5z i 的虚部为15 ， 故答案为：15 ；55 20． （2020·浙江高三其他）复数 z 满足：1za ii (其中 0 a ， i 为虚数单位)， 10 z ，则 a ________；复数 z 的共轭复数 z 在复平面上对应的点在第________象限. 【答案】2
四
【解析】
由1za ii 可得， ( )(1 ) 1 ( 1) z a i i a a i ，所以2 2( 1) ( 1) 10 z a a ，左右同时平方得，2 22 1 2 1 10 a a a a ，所以24 a 。又因为 0 a ，所以 2 a 。
所以 3 i z ，3 z i ，所以 z 在复平面上对应的点为 (3, 1)位于第四象限。
故答案为 2;四 21．（2020·浙江高三其他）欧拉公式 cos sinixe x i x （i为虚数单位）把复指数函数与三角函数联系起来它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”.请计算:ie ____；猜想：ii ___（填“是”或“不是”）虚数. 【答案】
1
不是
【解析】
由欧拉公式可知， cos sin 1ie i ， 因为2cos sin2 2ie i i ， 所以22 2 2iiiie e e i 为实数，不是虚数， 故答案为：
1 ；不是 五、解答题 22．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期末（文））已知复数 1 1 z m m i m R . （1）
m 取什么值时， z 为实数； （2）
m 取什么值时， z 为纯虚数. 【答案】（1）
1 m （2）
1 m
【解析】
（1）复数 1 1 z m m i m R ， 若 z 为实数，则 1 0 m ，即 1 m
（2）若 z 为纯虚数，则1 01 0mm ， 解得 1 m
23．（2020·广东潮州·期末）已知复数13 , z a i a R ，21 z i ，且满足1 2z z 是实数，求实数 a 及1z 的值. 【答案】
3 a ，13 2 z
【解析】
因为13 z a i ，21 z i ， 所以 21 23 1 3 3 3 3 z z a i i a ai i i a a i ， 因为1 2z z 是实数， 所以 3 0 a ，即：
3 a
所以13 3 z i ，2 213 3 3 2 z ， 所以 3 a ，13 2 z
24．（2020·湖北张湾·车城高中期中（理））已知复数 22 ) 1 ( 4 3 3 z i m i m i m R
（1）当 m 为何值时， z 为纯虚数？ （2）当 m 为何值时， z 对应的点在 2 1 y x 上？ 【答案】（1）
1 m ；（2）2 2 m ． 【解析】
（1）由已知2 2( 2 3) ( 4 3) z m m m m i ， z 为纯虚数，则222 3 04 3 0m mm m ，解得 1 m ． （2）由（1）
z 对应点的坐标为2 2( 2 3, 4 3) m m m m ，则2 24 3 2( 2 3) 1 m m m m ，解得
2 2 m ． 25．（2020·江苏无锡·高二期末）已知复数 z 使得 2 z i R ，2zRi，其中 i 是虚数单位. （1）求复数 z 的共轭复数 z ； （2）若复数 2z mi 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1）
4 2i ；（2）
2,2 . 【解析】
（1）设 , z x yi x y R ，则 2 2 z i x y i
∵ 2 z i R
∴ 2 y
又2 2 2 42 2 5 5z x i x xi Ri i ， ∴ 4 x
综上，有 4 2 z i
∴4 2 z i （2）∵ m 为实数，且 2224 2 12 4 8 2 z mi m i m m m i ∴由题意得 212 4 08 2 0m mm ，解得 2 2 m
故，实数 m 的取值范围是 2,2
26．（2020·山东潍坊·高二期末）在① z 为实数，② z 为虚数，③ z 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数：
2 22 1 z m m m i
（1）若________，求实数 m 的值； （2）当 z 在复平面内对应的点位于第三象限时，求 m 的取值范围. 【答案】（1）选择①：
1 m 或 1 m ；选择②：
1 m 或 1 m ；选择③：
2 m ；（2）
1,1 . 【解析】
选择①，当 z 为实数时，有21 0 m ，
解得 1 m 或 1 m ， 选择②，当 z 为虚数时，有21 0 m ， 解得 1 m 或 1 m ， 选择③，当 z 为纯虚数时，有222 01 0m mm ， 解得2 11m mm 或，∴ 2 m ； （2）因为 z 在复平面内对应的点位于第三象限， 所以222 01 0m mm ， 解得 1 1 m ， 所以 m 的取值范围为 1,1 . 27．（2020·西安市长安区第五中学月考（文））已知复数 3 z bi b R ，且 1 3i z 为纯虚数. （1）求复数 z ； （2）若2 iz ，求复数 以及模 . 【答案】（1）
3 i z ;（2）7 15 5i ， 2
【解析】
(1)将 3 z bi 代入 1 3i z 得 1 3 1 3 3 3 3 9 i z i bi b b i ，因为 1 3i z 为纯虚数,所以3 3 0,9 0,bb 解得 1 b ，所以复数 3 i z . (2)由(1)知 3 i z ，所以3 (3 )(2 ) 7 72 i 2 (2 )(2 ) 5 5 5z i i i i ii i i ，2 27 125 5 .
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