1 题 专题 21
导数大题专项练习 一、巩固基础知识 1.已知函数 1 623) (2 3 x x x x f 。
(1)求 ) (x f 的极值; (2)求 ) (x f 在区间 ] 4 2 [ , 上的最小值。
【解析】(1) ) 2 )( 1 ( 3 6 3 3 ) (2 x x x x x f ,令 0 ) ( xf ,则 1 x 或 2 x , 当 1 x 或 2 x 时 0 ) ( xf ,故 ) (x f 在区间 ) 1 ( , 或 ) 2 ( , 上单调递增, 当 2 1 x 时 0 ) ( xf ,故 ) (x f 在区间 ) 2 1 ( , 上单调递减, 故函数 ) (x f 的极大值为29) 1 ( f ,极小值是 9 ) 2 ( f ; (2) 1 ) 2 ( f , 17 ) 4 ( f ,由(1)知,29) ( 极大值x f , 9 ) ( 极小值x f , 比较可知四个数中的最小值为 ) (x f 在区间 ] 4 2 [ , 上的最小值,为 9 。
2.函数 x b x a x x f ln ) (2 的图像在点 ) 0 1 ( , P 处的切线斜率为 2 。
(1)求 a 、 b 的值; (2)证明:
2 2 ) ( x x f 对任意正实数 x 恒成立。
【解析】(1)解:由题设可知 ) (x f 的定义域为 ) 0 ( , , ) (x f y 在点 ) 0 1 ( , P 处切线的斜率为 2 , ∴ 0 1 ) 1 ( a f , 2 2 1 ) 1 ( b a f ,则 1 a , 3 b , (2)证明:由(1)知 x x x x f ln 3 ) (2 ( 0 x ),∵ 2 2 ) ( x x f , 设 x x x x x f x g ln 3 2 2 2 ) ( ) (2 , 则xx xxx x g) 3 2 )( 1 ( 32 1 ) (2 , 当 1 0 x 时, 0 ) ( xg ,当 1 x 时, 0 ) ( xg , ∴ ) (x g 在 ) 1 0 ( , 上单调递增,在 ) 1 ( , 上单调递减。
∴ ) (x g 在 1 x 处有最大值 0 ) 1 ( g , ∴ 0 2 2 ) ( x x f ,即 2 2 ) ( x x f ,原命题得证。
3.设函数xe x x f ) ( 。
(1)求曲线 ) (x f 在 1 x 处的切线方程; (2)求 ) (x f 的单调区间与极值; (3)若方程 0 a e xx有实数解,求实数 a 的范围。
【解析】(1)xe x x f ) ( 的定义域为 R ,xe x x f ) 1 ( ) ( , e f 2 ) 1 ( ,又 e f ) 1 ( ,
2 ∴曲线 ) (x f 在 1 x 处的切线方程为 ) 1 ( 2 x e e y ,即 0 2 e y ex ; (2)xe x x f ) 1 ( ) ( ,令 0 ) ( xf ,得 1 x ,列表如下:
∴ ) (x f 的单调递减区间是 ) 1 ( , ,单调递增区间是 ) 1 ( , ,ef x f1) 1 ( ) ( 极小值; (3)∵ ) (x f 在 R 上左减右增,且在 1 x 处取极小值,无极大值,则ex f x f1) ( ) (min 极小值, 又∵ 0 a e xx可化简为 a e xx ,可看作xe x y 与 a y 图象交点,则ea1 。
4.已知函数 x ax x x f 3 ) (2 3 。
(1)若 ) (x f 在区间上 ) 1 [ , 是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若31 x 是 ) (x f 的极值点,求 ) (x f 在 ] 1 [ a , 上的最大值和最小值。
【解析】(1) 3 2 3 ) (2 ax x x f , ) (x f 在区间上 ) 1 [ , 是增函数, 则 0 ) ( xf 在 ) 1 [ , 恒成立,即 )1(23xx a 在 ) 1 [ , 恒成立, min)]1(23[xx a ,xx1 在 ) 1 [ , 为增函数,则 0 )1(min xx , 0 a ; (2) 3 2 3 ) (2 ax x x f ,∵31 x 是 ) (x f 的极值点, ∴ 0 3 )31( 2 )31( 3 )31(2 a f 解得 4 a , ∴ x x x x f 3 4 ) (2 3 , 0 ) 1 3 )( 3 ( 3 8 3 ) (2 x x x x x f , 3 x 或31 x , 列表如下:
x
1
)311 ( ,
31
) 331( ,
3
) 4 3 ( ,
4
) (xf
0 ) ( xf
0 ) ( xf
0 ) ( xf
0 ) ( xf
0 ) ( xf
) (x f
2
增函数 2714 减函数 18
增函数 12
∴2714)31( ) (max f x f , 18 ) 3 ( ) (min f x f 。
二、扩展思维视野 5.已知函数 x ax x x f 3 ) (2 3 ( R a )。
(1)若 0 ) 3 ( f,求 ) (x f 在 ] 4 1 [ , 上的最小值和最大值; x
) 1 ( ,
1
) 1 ( ,
) (xf 0 ) ( xf
0
0 ) ( xf
) (x f
极小值
3 (2)若 ) (x f 在 ) 1 [ , 上是增函数,求实数 a 的取值范围。
【解析】(1) ) (x f 的定义域为 R ,∵ 3 2 3 ) (2 ax x x f ,由 0 ) 3 ( f得 0 3 6 27 a ,解得 4 a , ∴ 3 8 3 ) (2 x x x f ,令 0 ) ( xf ,即 0 ) 3 )( 1 3 ( 3 8 32 x x x x , 解得31 x 或 3 x , x
1
) 3 1 ( ,
3
) 4 3 ( ,
4
) (xf
0 ) ( xf
0
0 ) ( xf
) (x f
6
极小值 18
12
∴ ) (x f 在 ] 4 1 [ , 上的最小值是 18 ) 3 ( f ,最大值是 6 ) 1 ( f ; (2)由题意得:
0 3 2 3 ) (2 ax x x f 在区间 ) 1 [ , 上恒成立,∴ )1(23xx a , 又当 1 x 时, )1(23) (xx x g 是增函数,其最小值为 0 ) 1 ( g ,∴ 0 a , 即实数 a 的取值范围是 ] 0 ( , 。
6.已知函数 cx e x fx ) ( ( R c )。
(1)若 0 c ,函数 ) (x f 在区间 ] 2 1 [ , 上的最小值为 e 1 ,求 c 的值; (2)设xe x f x g ) ( ) ( ,若函数 ) (x g 有极值,求实数 c 的取值范围。
【解析】(1) ) (x f 的定义域为 R , c e x fx ) ( , 若 0 c ,则 0 ) ( xf 恒成立,∴ ) (x f 在 R 上单调递增, ∴函数 ) (x f 在区间 ] 2 1 [ , 上的最小值为 e c e f 1 ) 1 ( ,则 1 c ; (2)由题意得:
cx e e e x f x gx x x ) ( ) ( ( R c ), ) (x g 的定义域为 R , 则 c e e x gx x ) ( ,而 2 2 x x x xe e e e ,当且仅当 0 x 时取等号,分两种情况:
①当 2 c 时,对任意 R x , 0 ) ( xg 恒成立,此时 ) (x g 无极值, ②当 2 c 时,令 t e x ,方程 0 12 ct t 有两根,2421 c ct ,2422 c ct , ∴ 0 ) ( xg 有两个根24ln ln21 1 c ct x ,24ln ln22 2 c ct x , 当2 1x x x 时, 0 ) ( xg , ) (x g 在区间 ) (2 1x x, 上单调递减, 当1x x 或2x x 时 0 ) ( xg , ) (x g 在区间 ) (1x , 和 ) (2 , x 上单调递增, 从而 ) (x g 在1x x 处取极大值,在2x x 处取极小值, 综上,若函数 ) (x g 有极值,则实数 c 的取值范围为 ) 2 ( , 。
7.设函数 k bx ax x f 2) ( ( 0 k )在 0 x 处取得极值,且曲线 ) (x f y 在点 )) 1 ( 1 ( f , 处的切线垂直于直
4 线 0 1 2 y x 。
(1)求 a 、 b 的值; (2)若函数) () (x fex gx ,讨论 ) (x g 的单调性。
【解析】(1) ) (x f 的定义域为 R , b ax x f 2 ) ( , 又 ) (x f 在 0 x 处取极值,故 0 b , 由曲线 ) (x f y 在点 )) 1 ( 1 ( f , 处的切线垂直于直线 0 1 2 y x 相互垂直可知, 该切线斜率为 2 ,即 2 ) 1 ( f,有 2 2 a ,∴ 1 a ; (2)由(1)知,k xex gx2) ( ( 0 k ), ) (x g 的定义域为 R ,2 22) () 2 () (k xk x x ex gx ( 0 k ), 令 0 ) ( xg ,则 0 22 k x x , k 4 4 , 当 0 即 1 k 时,对 R x 都有 0 ) ( xg 恒成立,则 ) (x g 在 R 内单调递增, 当 0 即 1 0 k 时,方程 0 ) ( xg 有两个不同的实根:
k x 1 11, k x 1 12,2 1x x , 则 ) (x f 在 ) 1 1 ( k , 和 ) 1 1 ( , k 上单调递增, 在 ) 1 1 1 1 ( k k , 是上单调递减。
三、提升综合素质 8.已知 1 ) 1 ( ) ( x e x fx。
(1)求函数 ) (x f 在区间 ] 2 1 [ , 上的值域; (2)当 0 x 时, ax x f ) ( 恒成立,求实数 a 的取值范围。
【解析】(1) ) (x f 的定义域为 R , ) ( ) ( x e x fx , 令 0 ) ( xf 得 0 x ,则 ) (x f 在区间 ) 0 ( , 上单调递减, 令 0 ) ( xf 得 0 x ,则 ) (x f 在区间 ) 0 ( , 上单调递增, 而 1 2 ) 1 (1 e f , 1 ) 2 (2 e f , 0 ) 0 ( f ,则 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( f f f , 故 ) (x f 在区间 ] 2 1 [ , 上的值域为 ] 0 1 [2, e ; (2) ax x f ) ( ,即 ax x e x 1 ) 1 ( ,即 0 1 ) 1 ( ax e xx, 令 1 ) 1 ( ) ( ax e x x gx( 0 x ),则只需证明 0 ) (max x g , 则 a xe x gx ) ( ,x x xe x xe e x g ) 1 ( ) ( ,对于 0 x 时, 0 ) ( xg 恒成立, ∴ ) (xg在 ) 0 [ , x 上单调递减, a g ) 0 ( , ①当 0 a 时, 0 ) 0 ( ) ( g x g , ) (x g 在 ) 0 [ , 上单调递减,
5 则 0 ) 0 ( ) ( g x g ,满足 0 ) (max x g , ②当 0 a 时, 1 ae ,则 0 ) 0 ( a g , 0 ) 1 ( ) ( a ae a a e a a g , 则存在 ) 0 (0a x , 使得 0 ) (0 xg , ∴当 ) 0 [0x x , 时 0 ) ( xg , ) (x g 在 ) 0 [0x , 上单调递增, ∴当 ) (0a x x , 时 0 ) ( xg , ) (x g 在 ) (0a x , 上单调递增减, 又 0 ) 0 ( g ,∴ 0 ) (0 x g ,∴ 0 a 不满足 0 ) (max x g , 综上可得 0 a ,故实数 a 的取值范围为 ) 0 [ , 。
9.已知函数 x a x x f ln ) ( ( R a )。
(1)设函数xax f x h 1) ( ) ( ,求函数 ) (x h 的单调区间; (2)若xax g 1) ( ,在 ] 1 [ e , 上存在一点0x ,使得 ) ( ) (0 0x g x f 成立,求 a 的取值范围。
【解析】(1)xax a x x h 1ln ) ( ,定义域为 ) 0 ( , , 2 222)] 1 ( )[ 1 ( ) 1 ( 11 ) (xa x xxa ax xxaxax h , ①当 0 1 a ,即 1 a 时,令 0 ) ( xh ,∵ 0 x ,∴ a x 1 ; 令 0 ) ( xh ,∵ 0 x ,∴ a x 1 0 , ②当 0 1 a ,即 1 a 时, 0 ) ( xh 恒成立, 综上:当 1 a 时, ) (x h 在 ) 1 0 ( a , 上单调递减,在 ) 1 ( , a 上单调递增, 当 1 a 时, ) (x h 在 ) 0 ( , 上单调递增; (2)由题意可知在 ] 1 [ e , 上存在一点0x ,使得 ) ( ) (0 0x g x f 成立, 即在 ] 1 [ e , 上存在一点0x ,使得 0 ) (0 x h , 即函数xax a x x h 1ln ) ( 在 ] 1 [ e , 上的最小值 0 ) (min x h ,由第(1)问可知:
①当 e a 1 ,即 1 e a 时, ) (x h 在 ] 1 [ e , 上单调递减, ∴ 01) ( ) (min aeae e h x h ,∴112eea ,又∵ 1112 eee,∴112eea , ②当 1 1 a ,即 0 a 时, ) (x h 在 ] 1 [ e , 上单调递增, ∴ 0 1 1 ) 1 ( ) (min a h x h , 2 a , ③当 e a 1 1 ,即 1 0 e a 时,∴ 0 ) 1 ln( 2 ) 1 ( ) (min a a a a h x h , ∵ 1 ) 1 ln( 0 a , a a a ) 1 ln( 0 , 2 ) 1 ( a h ,此时不存在0x 使 0 ) (0 x h 成立,
6 综上可得所求 a 的范围是:112eea 或 2 a 。
10.已知函数 ax x e x x fx2 ln ) (2 。
(1)若函数 ) (x f y 在 1 x 处的切线的斜率为 1 ,求 a 的值; (2)若 1 2 ) ( x x f ,求 a 的取值范围。
【解析】(1) ) (x f 的定义域为 ) 0 ( , , axe x x fx21) 1 2 ( ) (2 , 则 1 2 1 3 ) 1 (2 a e f ,解得 1232 ea ; (2)由 1 2 ) ( x x f 可得:
2 21 ln2 axxex, 令xxe x gx1 ln) (2 ,则 ) (x g 的定义域为 ) 0 ( , ,22 2ln 2) (xx e xx gx , 令 x e x xxln 2 ) (2 2 , ) (x 的定义域为 ) 0 ( , , 01) 1 ( 4 ) (2 xx e x xx恒成立, ∴ ) (x 在 ) 0 ( , 上单调递增,又 0 121212)1(222 eeeee ee,且 0 2 ) 1 (2 e ,
∴存在 ) 11(0,ex ,使得 0 ) (0 x ,即 0 ln 202 200 x e xx, ∴ ) (x g 在 ) 0 (0x , 上单调递减,在 ) (0 , x 上单调递增, ∴ ) (0x g 为 ) (x g 的极小值,也是最小值,0020 min1 ln) ( ) (0xxe x g x gx , 令 t e xx 02 20,两边同时取对数得:
t x x t e x t e xx xln 2 ln 2 ln ln ln ln ) ln(0 02 202 200 0 , 又由 0 ln 202 200 x e xx得 0 ln 20 x t , 则 t t x x 2 ln 2 ln0 0 ,则 t x 0,即0 02 ln x x , ∴02 200x t e xx ,即0210xex ,∴ 21 2 1 1 ln) ( ) (000 0020 min0 xxx xxe x g x gx, 故 2 ) ( 2 2min x g a ,解得 0 a ,∴ a 的取值范围是 ] 0 ( , 。