分类讨论的思想 思想再现 例题精讲
所谓分类讨论的思想是指当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分别分析的思想方法。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，分类讨论是一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略。引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：
（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论； （2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论； （3）由于图形的不确定性引起的讨论； （4）由于题目含有字母而引起的讨论。
一般来说，“我不知道你是谁，但我知道你的范围”，可以考虑适用分类讨论的思想一一予以讨论求解，或者一道题比较复杂的时候需要分成几个方面或几个步骤分别分析，均可以考虑运用分类讨论的数学思想。应用分类讨论思想解决问题必须保证分类科学，标准统一，做到不重复，不遗漏，并力求最简。分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用。
【例1 1 】
由三个边长为 1 的正方形拼成如图所示的左右对称图形，以图中正方形的 10 个顶点为顶点可得到许多不同的三角形，那么在这些三角形中，面积为 1 的三角形共有_____个。（面积为1 的三角形的三条变中，至少有一条边是水平或垂直的）
第二讲
【例2 2 】
如图是一个小数除法竖式，其中算式中所注明的两个字母要求：A<B，那么满足这个竖式的除数与商的和是_____。
【例3 3 】
如右图，方格纸上放量二十枚棋子，以棋子为顶点的正方形有_____个。
【例4 4 】
某同学把他所有的书按喜爱程度编号为 1，2，3，4……，编完之后发现所有编号的和刚好是 100 的倍数但是不到 1000。那么他共有_____本书。
【例5 5 】
一辆小汽车与一辆大卡车在一段 9 千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行。已知小汽车的速度是大卡车的速度的 3 倍，两车倒车的速度是各自速度的 1/5；小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的 4 倍。如果小汽车的速度是 50 千米/小时，那么要通过这段狭路最少要用_____小时。
【例6 6 】
有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直到不能再写为止，如 257，1459，12358 等，这类数一共有_____个。
【例7 7 】
甲乙丙丁四支足球队进行循环赛，每两个队都要赛一场，胜者得 3 分，负者得 0 分，如果踢平，两队各得 1 分。现在甲、乙、丙分别得 7 分、1 分、6 分，已知甲和乙踢平，那么丁得_____分。
【例8 8 】
能否找到自然数 a 和 b，使得a 2 =2002+b 2 ？
【例9 9 】
N 个同学做游戏，他们在 N 张卡片上分别写了 N 个不同的非零自然数。游戏时每人抽取其中一张卡片，记下卡片上的数字之后再将卡片放回。这样经过 N 次抽取之后，每人记下的所有数字之和就是他们各自最后的得分，并从大到小排名。若小李 N 次取得的数字各不相同，其余同学的得分各不相同，他们（不包括小李）得分之和是 2001。那么 N 可以等于多少？小李最高能排第几名？
课堂练习
【随练1】
由四个边长为 1 的正方形拼成如图所示的对称图形，以图中正方形的 14 个顶点为顶点可得到许多不同的三角形，那么，在这些三角形中，面积为 1 的三角形共有_____个。（面积为 1的三角形中至少有一条边是水平或垂直的）
【随练2】
五位数 abcde 是用 1，2，3，4，5 构成的。小明发现：4 能整除 abc ，5 能整除 bcd ，3 能整除 cde ，那么这个数是_____。
【随练3】
下列算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，那么五位数“风筝飞飞飞”的所有可能值是__________。
家庭作业
【作业1】
用 0，1，2，3，4 五个数字组成 4 位数，每个四位数中的数字都不同（如 1023，2341），求全体这样的四位数的和。
【作业2】
有一批长度分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中选出适当的木条作为三边可围成三角形。如果规定底边长是 11 厘米，那么可以围成三角形的选择共有多少种？
【作业3】
2001 个球平均分给若干个人恰好分完。若有一人退出，则他的球够给其他人每人多分 2个还有剩余，但不够给每人多分 3 个。那么原来平均每人分到多少个球？
【作业4】
如图两条线段 AB 和 CD 垂直，交点为 E。已知 DE=2CE，BE=3AE。在 AB 和 CD 上取不全共线的 3 个点可以画一个三角形，那么要怎样取这 3 个点，画出的三角形面积最大？
【作业5】
五个足球队进行单循环赛，每两个队之间都要赛一场。每场比赛胜者得 3 分、负者得 0分、打平两队各得 1 分。比赛结果各队得分互不相同。已知：⑴得第 1 名的球队没有平过；⑵得第2 名的球队没有负过；⑶得第 4 名的球队没有胜过。那么全部比赛共打平了_____场。
【作业6】
图中有_____个正方形，有_____个三角形。