1 题 专题 22
推理与证明、数系的扩充与复数的引入专项练习 一、巩固基础知识 1．已知复数ii az4 3 ( R a )的实部是257，则 a 的值为(
)。
A、 3
B、 1
C、 1
D、 3
【答案】C 【解析】
ia a i a ai ii i aii az254 3254 325) 4 3 ( ) 4 3 () 4 3 )( 4 3 () 4 3 )( (4 3 ， 由题意可知257254 3 a，解得 1 a ，故选 C。
2．若复数aiiz213为纯实数，则实数 a 的值为(
)。
A、 2
B、 1
C、 1
D、 2
【答案】A 【解析】由234) 2 ( ) 2 () 2 )( 2 () 2 )( 1 (2121ai a aai aiai iaiiaiiz 为纯实数， 可得 0 2 a ，解得 2 a ，故选 A。
3．在复平面内，复数2111 iiiz 对应的点位于(
)。
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【答案】A 【解析】
ii i ii iiz2121212221) 1 )( 1 () 1 (2 ， 则 z 在复平面内对应的点为 )2121( ， ，在第一象限，故选 A。
4．已知复数 z 满足 ) 2 1 ( ) 1 ( 42i z i ，则 | | z (
)。
2 A、 1
B、 2
C、 5
D、 10
【答案】B 【解析】iiiiz2 1) 2 ( 22 1) 1 ( 42 ，∴ 2| 2 1 || 2 | 2| | iiz ，故选 B。
5．已知 bi i a 2 5 ( R b a 、 )，则复数 ibi az2 5(
)。
A、 i 5 2
B、 i
C、 i
D、 1
【答案】C 【解析】∵ bi i a 2 5 且 R b a 、 ，则 2 a ， 5 b ， ∴ iii ii iiiz 99) 2 5 )( 2 5 () 2 5 )( 5 2 (2 55 2，故选 C。
6．已知复数 z 满足 i iz 1 2 ，则 | | z (
)。
A、32 B、22 C、 2
D、 3
【答案】B 【解析】由题意可知 iii iiiz21212) 1 (212 ，∴ i z2121 ，则22| | z ，故选 B。
7．新冠肺炎肆虐全，疫情波及 200 多个国家和地区；一些国家宣布进入“紧急状态”，全球股市剧烈震荡……新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻影响社会生活运转。这场全球公共卫生危机，需要国际社会的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为(
)。
A、甲丙丁戊乙
3 B、甲丁丙乙戊 C、甲乙丙丁戊 D、甲丙戊乙丁 【答案】D 【解析】戊是法国人，还会说德语，只能用法语交流， 则两侧只能是乙和丙，乙旁边是丁，丙旁边是甲，故选 D。
二、扩展思维视野 8．已知复数iiz11，给出以下三个结论：①2021z 是纯虚数：② 2 | | i z ：③在复平面内，复数 i z z 对应的点位于第三象限，其中正确结论的个数为(
)。
A、 0
B、 1
C、 2
D、 3
【答案】D 【解析】
ii iiiiz ) 1 )( 1 () 1 (112， i i z 2021 2021，①正确， 2 | 2 | | | i i z ，②正确， i i i i i z z 1 ，其在复平面内对应的点位于第三象限，③正确，故选 D。
9．已知 yi x i 2 1 ) 6 2 ( ，其中 x 、 y 是实数，则 | | yi x (
)。
A、21 B、23 C、210 D、 2
【答案】C 【解析】
yi xi x 2 1 6 2 ， 1 2 x ， y x 2 6 ，则21 x ，233 x y ， 则210)23( )21( | |2 2 yi x ，故选 C。
10．若复数iiz12 1( i 为虚数单位)，则 z 在复平面对应的点所在象限为(
)。
A、第一象限 B、第二象限
4 C、第三象限 D、第四象限 【答案】C 【解析】
ii i iz232123 12) 1 )( 2 1 ( ， i z2321 ， 则 z 点为 )2321( ， ，第三象限，故选 C。
11．某抽奖活动：将写有“一等奖”、“二等奖”、“三等奖”、“谢谢参与”的纸条随机放在编号为 1 、 2 、 3 、 4的四个纸盒中，由顾客根据甲、乙、丙、丁四位同学的提示选择“一等奖”所在纸盒。甲说：
1 号盒中为“二等奖”， 3 号盒中为“三等奖”；乙说：
2 号盒中为“二等奖”， 3 号盒中为“谢谢参与”；丙说：
4 号盒中为“二等奖”， 2 号盒中为“三等奖”；丁说：
4 号盒中是“一等奖”， 3 号盒中是“三等奖”，若甲、乙、丙、丁四人均说对了一半，则可判断一等奖所在盒的编号为(
)。
A、 1
B、 2
C、 3
D、 4
【答案】D 【解析】
甲 1 号盒中为二等奖 3 号盒中为三等奖 甲 1 号盒中为二等奖 3 号盒中为三等奖 √ × × √ 乙 2 号盒中为二等奖 3 号盒中为谢谢参与 乙 2 号盒中为二等奖 3 号盒中为谢谢参与 × √ √ × 丙 4 号盒中为二等奖 2 号盒中为三等奖 丙 4 号盒中为二等奖 2 号盒中为三等奖 × √ × √ 丁 4 号盒中是一等奖 3 号盒中是三等奖 丁 4 号盒中是一等奖 3 号盒中是三等奖 √ ×
1 号 2 号 3 号 4 号
1 号 2 号 3 号 4 号 二等奖 三等奖 谢谢参与 一等奖 冲突 12．用数学归纳法证明不等式“ nn 1 2131211 (N n ， 2 n )”时，由 k n ( 2 k )不等式成立，推证 1 k n 时，左边应增加的项数是(
)。
A、12 k B、 1 2 k C、k2
D、 1 2 k 【答案】C 【解析】当 k n 时，左边1 2131211 k，
5 当 1 k n 时，左边1 211 21211 21312111 k k k k， ∴左边增加的项数为k k k k k2 2 2 ) 1 2 ( ) 1 2 (1 1 ，故选 C。
三、提升综合素质 13．设有下面四个命题：
①若复数 z 满足 R z 2，则 R z ； ②若复数 z 满足 02 z ，则 z 是虚数； ③若复数 z 满足 Rz1，则 R z ； ④若复数1z 、2z 满足 R z z 2 1，则2 1z z ； 其中是真命题的有
(填写所有真命题的编号)。
【答案】②③ 【解析】① i z ， R z 12， R z ，则①是假命题， 具体做：设 bi a z ( R b a 、 )，则 i ab b a z ) 2 (2 2 2 ，则 0 a 或 0 b ， 当 0 a 、 0 b 时 z 为纯虚数，当 0 b 、 R a 时 z 为纯实数， ②一个数的平方小于 0 ，则这个数一定是虚数，而且还是纯虚数，则②是真命题， 具体做：设 bi a z ( R b a 、 )，则 0 ) 2 (2 2 2 i ab b a z ，则 02 2 b a 且 0 2 ab ， 则 0 a 时 02 b 可取，则 0 b 时 02 a 不可取， 则 0 a ， 0 b ， bi z ， z 为纯虚数， ③ Rz1，则 Rz zz，又 R z z 恒成立，∴ R z ，∴ R z ，则③是真命题， 具体做：设 bi a z ( R b a 、 )，则 Rb abi abi a bi abi abi a z 2 2) )( (1 1， 则 0 a 且 0 b ，则 R a z ， ④ 11 z 、 22 z ， R z z 22 1，2 1z z ，则④是假命题， 具体做：设 i b a z1 1 1 ( R b a 1 1 、)， i b a z2 2 2 ( R b a 2 2 、)， 则 R b b i b a b a a a i b a i b a z z 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1) ( ) ( ) ( ， 则 01 2 2 1 b a b a ，解有很多种可能，当 01 b 且 02 b 时符合条件， 此时 R a 1、 R a 2，1 1a z 、2 2a z ，2 1z z 不一定成立， 填②③。