方法技巧专题 5
立体几何中平行与垂直证明
一、立体几何中平行与垂直知识框架
【一】“平行关系”常见证明方法
二、立体几何中的向量方法
cc∥∥bab a ∥ 1.1 直线与直线平行的证明
1.1.1 利用某些平面图形的特性：如 平行四边形的对边互相平行等 1.1.2 利用 三角形中位线性质 1.1.3 利用空间平行线的传递性（即公理 4）：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.1.4 利用直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平 面 相交，那么这条直线和交线平行。
1.1.5 利用平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
1.1.6 利用直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
1.1.7 利用平面内直线与直线垂直的性质：
在 同一个平面 内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
1.1.8 利用定义：
在同一个平面内且两条直线没有公共点 1.2 直线与平面平行的证明
1.2.1 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面平行。
1.2.2 利用平面与平面平行的性质推论：
两 个 平 面 互 相 平 行 ， 则 其 中 一 个 平 面 内 的 任 一 直 线 平 行 于 另 一 个 平 面 。baa
b α βbaa ∥b a∥ baa ∥b a∥ b aba //// bab a∥ b ∥ aba ∥ a ab
1.2.3 利用定义：
直线在平面外，且直线与平面没有公共点 1.3 平面与平面平行的证明 1.3.1 利用平面与平面平行的判定定理：
一个平面内的两 条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
1.3.2 利用某些空间几何体的特性：如 正方体的上下底面互相平行等 1.3.3 利用定义：
两个平面没有公共点
1. 例题
例 【例 1 1 】
如图，已知菱形 ABCD ，其边长为 2， 60 BAD ， ABD 绕着 BD 顺时针旋转 120 得到PBD ， M 是 PC 的中点． （1）求证：
/ / PA 平面 MBD ； （2）求直线 AD 与平面 PBD 所成角的正弦值．
【例 2 2】
】
已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 是60 A 、边长为 a 的菱形，又 ABCD PD 底 ，且 PD=CD，点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点．
证明：DN//平面 PMB。
β
α
a ∥ a ∥ a ////∩⊂⊂baP b aba // ⇒b aP
NMBPDCA
例 【例 3 3 】如图，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点， E ， F 分别是 PA ， BD 上的点且PE EA BF FD ∶ ∶ ，求证：
EF// 平面 PBC ．
2. 巩固提升综合练习
习 【练习 1 1 】如图，在六 面体 ABCDEFG 中，平面 ABC ∥平面 DEFG ， AD ⊥平面 DEFG ，AC AB , DG ED , EF ∥ DG ,且 2 DG DE AD AB , 1 EF AC ．
求证：
BF ∥平面 ACGD ；
【练习 2 2 】如图， E ， F ， G ， H 分别是正方体1 1 1 1ABCD ABC D 的棱 BC ，1CC ，1 1C D ，1AA 的中点． 求证：（1）
EG∥ 平面1 1BB D D ；
（2）平面 BDF∥ 平面1 1B D H ． A B C D E G F
习 【练习 3 3 】在如图所示的五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，且 60 DAB ， / / EF 平面ABCD ， 2 2 EA ED AB EF ， M 为 BC 中点. 求证：
/ / FM 平面 BDE .
【二】
“垂直关系”常见证明方法
1 2.1 直线与直线垂直的证明
2.1.1 利用某些平面图形的特性：如 直角三 角形的两条直角边互相垂直, , 等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。
2.1.2 看夹角：
两条共（异）面直线的夹角为 90 °，则两直线互相垂直。
2.1.3 利用直线与平面垂直的性质：
如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
2.1.4 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
2.1.5 利用常用结论：
① ① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。
② ② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。
2.2 直线与平面垂直的证明
2.2.1 利用某些空间几何体的特性：如 长方体侧棱垂直于底面
等 2.2.2 看直线与平面所成的角：
如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。
2.2.3 利用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两 条 相 交 直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
l
a
b β α l bl abal b a c ab a∥c b bal A lb la lA b abab a
α c a
b baa b α ab ∥ ba b a
aa a a∥ aA P B C F E D
2.2.4 利用平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2.2.5 利用常用结论：
①
一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
②
两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。
2.3 平面与平面垂直 的证明
2.3.1 利用某些空间几何体的特性：如 长方体侧面垂直于底面等 2.3.2 看二面角：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。
2.3.3 利用平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
1. 例题
【例 1 1】
】如图,四边形 ABCD 为矩形，CF⊥平面 ABCD，DE⊥平面 ABCD，AB=4a，BC= CF=2a，P 为 AB的中点.求证：平面 PCF⊥平面 PDE.
【 例 2 2 】
】
如 图 ， 在 四 棱 锥 A B C D P 中 ， ABCD 是 矩 形 ，A B C D PA 平面 ， 3 , 1 AB AD PA ，点 F 是 PD 的中点，点 E 在 CD 上移动。
求证：
AF PE 。
ABCDPEF bb a∥ al aal aalaba
【例 3 3 】如图，在四边形 ABCD 中， 4 AD AB ， 7 CD BC ，点 E 为线段 AD 上的一点.现将DCE 沿线段 EC 翻折到 PAC ，使得平面 PAC 平面 ABCE ，连接 PA ， PB . 证明：
BD 平面 PAC .
2. 巩固 提升综合练习 【练习 1 1 】
如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是矩形，SA 底面 ABCD，P 为 BC 边的中点，SB 与平面 ABCD 所成的角为45 ，且 AD=2，SA=1。
求证：PD 平面 SAP；
【练习 2 2】
】
如图，在三棱柱1 1 1ABC ABC 中，侧棱1AA 底面 ABC ， M 为棱 AC 的中点． = AB BC ， =2 AC ，1 = 2AA ． （1）求证：1B C∥ 平面1ABM ； （2）求证：1AC 平面1ABM ；
【练习 3 3 】如图，四棱锥 P ABCD 中， 2 2 AB AD BC ， BC AD ∥ ， AB AD ， PBD △ 为正三角形． 且 2 3 PA ． 证明：平面 PAB 平面 PBC ．
三 、课后自我检测
1．如图，四边形 ABCD 为正方形， EA 平面 ABCD ， EF AB ∥ ， 4 AB ， 2 AE ， 1 EF ． （1）求证：
BC AF ； （2）若点 M 在线段 AC 上，且满足14CM CA ，求证：
EM∥ 平面 FBC ； （3）求证：
AF 平面 EBC ．
2．直三棱柱1 1 1ABC ABC 中， 5 AB ， 3 AC ， 4 BC ，点 D 是线段 AB 上的动点.
（1）当点 D 是 AB 的中点时，求证：
//1AC 平面1BCD ； （2）线段 AB 上是否存在点 D ，使得平面1 1ABB A 平面1CDB ？若存在，试求出 AD 的长度；若不存在，请说明理由.
3.如图， ABC 为等边三角形， EA 平面 ABC ， / / EA DC ， 2 EA DC ， F 为 EB 的中点. （Ⅰ）求证：
/ / DF 平面 ABC ； （Ⅱ）求证：平面 BDE 平面 AEB .
4. 已知平面四边形 PABC 中， PAC PCA 中， 90 BAC ，现沿 AC 进行翻折，得到三棱锥P ABC ，点 D ， E 分别是线段 BC ， AC 上的点，且 // DE 平面 PAB . 求证：（1）直线 // AB 平面 PDE ； （2）当 D 是 BC 中点时，求证：平面 ABC 平面 PDE .