导数应用：
含参函数的单调性讨论(二)
对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论， 若有多个讨论点时， 要注意讨论层次与顺序， 一般先根据参数对导函数类型进行分类， 从简单到复杂。
一、 典型例题
例 1、 已知函数32( )f x331,axxxaR=+++∈, 讨论函数)(xf的单调性.
分析：
讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增， 在何区间单调递减。
而确定函数的增区间就是确定0)( "f>x的解区间； 确定函数的减区间就是确定0)( "f<x的解区间； 讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。
解：
因为32( )f x331,axxxaR=+++∈，
所以/2( )3(21)f xaxx=++
(1)
当0a =时，/( )f x3(21)x=+，
当1,2x ≤ −时，/( )f x ≤0； 当1,2x ≥ −时，/( )f x ≥0；
所以函数( )f x 在1(,]2−∞ −上单调递增， 在1[,)2−+∞ 上单调递减；
(2)
当0a >时，/2( )3(21)f xaxx=++的图像开口向上，36(1) a∆ =− I)
当136(1)0,aa≥∆ =−≤时，时，/( )f x ≥0， 所以函数( )f x 在 R 上递增；
II)
当 0136(1)0,aa<<∆ =−>时，时， 方程/( )f x =0的两个根分别为
121111,,aaxxaa− −−− +−==且12,xx<
所以函数( )f x 在11(,)aa− −−−∞，11(,)aa− +−+∞ 上单调递增，
在1111(,)aaaa− −−− +−上单调递减；
(3)
当0a <时，/2( )3(21)f xaxx=++的图像开口向下， 且36(1)0a∆ =−>
方程/( )f x =0的两个根分别为121111,,aaxxaa− −−− +−==且12,xx>
所以函数( )f x 在11(,)aa− +−−∞，11(,)aa− −−+∞ 上单调递减，
在1111(,)aaaa− +−− −−上单调递增。
综上所述，
当0a <时， 所以函数( )f x 在1111(,)aaaa− +−− −−上单调递增，
在11(,)aa− +−−∞，11(,)aa− −−+∞ 上单调递减；
当0a =时，( )f x 在1(,]2−∞ −上单调递增， 在1[,)2−+∞ 上单调递减；
当 01a<< 时 ， 所以函数( )f x 在11(,)aa− −−−∞，11(,)aa− +−+∞ 上单调递增，
在1111(,)aaaa− −−− +−上单调递减；
当1a ≥ 时 ， 函数( )f x 在 R 上递增；
小结：
导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论（先讨论其为 0 情形）， 然后讨论判别式（先讨论判别式为负或为 0 的情形， 对应导函数只有一种符号， 原函数在定义域上为单调的）， 判别式为正的情况下还要确定两根的大小（若不能确定的要进行一步讨论）， 最后根据导函数正负确定原函数相应单调性， 记得写出综述结论。
例 2． （2010 山东理数改编）
已知函数1( )f xln1axaxx−=−+− ()aR∈. 讨论 ( )f x 的单调性；
解：
因为1( )f xln1axaxx−=−+− 的定义域为), 0 ( +∞
所以 2"22111( )(0,)aaxxaf xaxxxx−− + −=− +=∈+∞ ，
令
2( )h x1,(0,)axxa x=− + −∈+∞ ， 则)()( "fxgx与同号 法一：
根据熟知二次函数性质可知 g(x) 的正负符号与开口有关， 因此可先分类型讨论：
①
当0a＜ 时， 由于11 0a− ＜ <1，)(xh开口向下, 结合其图象易知
(0,1)x∈，( ) 0h x ＞ , 此时"( )f x ＜ ， 函数 0( )f x 单调递减；
(1,)x∈+∞ 时，( )h x ＜ ， 此时0"( ) 0f x ＞ ， 函数( )f x 单调递增.
②当0>a时，
)(xh开口向上, 但2x 是否在定义域需要讨论：
因10011≥<⇔≤−aaa或所以 i)
当1≥a时， 由于11 0a− ＜ <1，)(xh开口向上, 结合其图象易知
(0,1)x∈，( )h x ＜ ， 此时0"( ) 0f x ＞ ， 函数( )f x 单调递增.
(1,)x∈+∞ 时，( ) 0h x ＞ , 此时"( )f x ＜ ， 函数 0( )f x 单调递减；
ii) 当10<< a时， g(x) 开口向上且), 0 (,21+∞∈xx， 但两根大小需要讨论：
a)
当12a =时，12, ( )x h x0x=≥恒成立，
此时"( )f x ≤ ， 函数 0( )f x 在∞（0， +）上单调递减；
b)
当11a−01 1 02a＜＜时， ＞＞， g(x) 开口向上且在（0，∞+）
有两根
(0,1)x∈时，( ) 0h x ＞ ， 此时"( )f x ＜ ， 函数0( )f x 单调递减；
1(1,1)xa∈−时 ( )h x ＜ ， 此时0"( ) 0f x ＞ ， 函数 ( )f x 单调递增；
1(1,)xa∈− +∞ 时，( ) 0h x ＞ ， 此时"( )f x ＜ ， 函数0( )f x 单调递减；
c)
当121<< a时，1110<−<a， g(x) 开口向上且在（0，∞+）
有两根
) 1−1, 0 (∈ax时，( ) 0h x ＞ ， 此时"( )f x ＜ ， 函数0( )f x 单调递减；
) 1 , 1−1(∈ax时 ( )h x ＜ ， 此时0"( ) 0f x ＞ ， 函数 ( )f x 单调递增；
), 1 ( +∞∈x时，( ) 0h x ＞ ， 此时"( )f x ＜ ， 函数0( )f x 单调递减；
小结：
此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论， 而确定导函数符号的分子是常见二次型的， 一般要先讨论二次项系数， 确定类型及开口； 然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内， 再讨论两根大小注， 结合 g(x) 的图象确定其在相应区间的符号， 得出导函数符号。
讨论要点与解含参不等式的讨论相应。
法二：
①
10011≥<⇔≤−aaa或 i) 当0a＜ 时， 由于11 0a− ＜ <1，)(xh开口向下, 结合其图象易知
(0,1)x∈，( ) 0h x ＞ , 此时"( )f x ＜ ， 函数 0( )f x 单调递减；
(1,)x∈+∞ 时，( )h x ＜ ， 此时0"( ) 0f x ＞ ， 函数( )f x 单调递增.
ii) 当1≥a时， 由于11 0a− ＜ <1，)(xh开口向上, 结合其图象易知
(0,1)x∈，( )h x ＜ ， 此时0"( ) 0f x ＞ ， 函数( )f x 单调递增.
(1,)x∈+∞ 时，( ) 0h x ＞ , 此时"( )f x ＜ ， 函数 0( )f x 单调递减；
②10011<<⇔>−aa时 g(x) 开口向上且), 0 (,21+∞∈xx i) 当12a =时，12, ( )x h x0x=≥恒成立，
此时"( )f x ≤ ， 函数 0( )f x 在∞（0， +）上单调递减；
ii) 当11a−01 1 02a＜＜时， ＞＞， g(x) 开口向上且在（0，∞+）
有两根
(0,1)x∈时，( ) 0h x ＞ ， 此时"( )f x ＜ ， 函数0( )f x 单调递减；
1(1,1)xa∈−时 ( )h x ＜ ， 此时0"( ) 0f x ＞ ， 函数 ( )f x 单调递增；
1(1,)xa∈− +∞ 时，( ) 0h x ＞ ， 此时"( )f x ＜ ， 函数0( )f x 单调递减；
iii) 当121<< a时，1110<−<a， g(x) 开口向上且在（0，∞+）
有两根
) 1−1, 0 (∈ax时，( ) 0h x ＞ ， 此时"( )f x ＜ ， 函数0( )f x 单调递减；
) 1 , 1−1(∈ax时 ( )h x ＜ ， 此时0"( ) 0f x ＞ ， 函数 ( )f x 单调递增；
), 1 ( +∞∈x时，( ) 0h x ＞ ， 此时"( )f x ＜ ， 函数0( )f x 单调递减；
小结：
单调性讨论化归为讨论导函数符号的问题， 多数导数是连续函数， 其正负所以区间可由其根划分，所以可根据相应导函数的零点个数（从少到多）
分类， 先讨论零点可能没意义的（如分母或偶次根等含参数， 要先讨论分母是否为零， 被开方式是否非负）， 然后讨论解出的根是否为增根（解方程时由于去分母， 去根号， 去对数符号时导致范围扩大而得出根， 要讨论其是否在定义域内）， 再对有多个零点的讨论其大小， 最后由导数的根将定义域划分为若干区间并结合导函数图象确定相应区间上确定导函数的正负（不能确定的再讨论何时正何时负）
而得到相应单调性质。
最后确记要综合讨论情况， 写出综上所述结论。
函数问题一定要注意先确定定义域， 单调区间是定义域的子集。
为讨论导函数的根及导函数的符号情况， 一般能因式分解的要先分解（包括分式先通分）。
例 2． （2011 年广东卷文 19 题）
设0a >， 讨论函数2( )f xln(1)2(1)xaa xa x=+−−−的单调性．
解：
函数( )f x 的定义域为 (0,)+∞
212 (1a)2(1)1( )2 (1a)2(1)a xa xf x′a xaxx−−−+=+−−−=(x>0) 令2( )g x2 (1a)2(1)1a xa x=−−−+ ,则)( " xf与)(xg同号
（1）
当1=a时，xxfxxfxgln)(, 01)( ", 1)(=>==在定义域), 0 ( +∞ 上为增函数
(2) 当1≠a时, 224(1)8 (1a)121644(31)(1)aaaaaa∆ =−−−=−+=−−
当⇔≤∆0113a≤≤ 时， g(x)开口向上， 图象在 x 轴上方， 所以0)(≥xg 所以( )0f x′≥， 则( )f x 在 (0,)+∞ 上单调递增 当⇔>∆0131><aa或,此时令( )0f x′=， 解得)1 (a21,)1 (a2121aaxaax−∆+−=−∆−−= 由于210)(100)1 (a2xxxgaa<<⇔<<⇔>−开口向上且，
因此可进一步分类讨论如下：
i)
当1a > 时，120)(0)1 (a2x， xxga<<⇒<−开口向下 ∵0x >，( )0f x′>⇔10xx << ; ( )0f x′<1xx >⇔ 则( )f x 在1(31)(1)(0,)2 (1a)aaaa− −−−−上单调递增，
在1(31)(1)(,)2 (1a)aaaa− −−−+∞−上单调递减
ii)当103a<<时，( )0f x′>⇔10xx <<或2 xx >; ( )0f x′<21xxx<<⇔ 则( )f x 在1(31)(1)(0,)2 (1a)aaaa− −−−−，1(31)(1)(,)2 (1a)aaaa− +−−+∞−上单调递增，
在1(31)(1) 1(31)(1)(,)2 (1a)2 (1a)aaaaaaaa− −−−− +−−−−上单调递减 综上所述， f(x)的单调区间根据参数 a 讨论情况如下表：
103a<< 113a≤≤
1a >
1(0,)x 12( ,x x) 2(,)x +∞
(0,)+∞
1(0,)x 1( ,x +∞
)增
减
增
增
增
增
（其中12(1)(31)(1)(31)11,22 (1a)22 (1a)aaaaxxaaaa−−−−=−=+−−)
小结：
求单调区间要确定定义域， 确定导函数符号的关键是看分子相应函数， 因此讨论点有：
第一是类型（一次与二次的根个数显然不同)； 第二有没有根（二次的看判别式）， 第三是有根是否为增根（在不在定义根内； 第四有根的确定谁大； 第五看区间内导函数的正负号（二次函数要看开口）。
确记要数形结合， 多数考题不会全部讨论点都要讨论的， 题中往往有特别条件， 不少讨论点会同时确定（即知一个就同时确定另一个）。
判别式与开口的讨论点先谁都可以， 但从简单优先原则下可先根据判别式讨论， 因为当导函数无根时它只有一种符号， 相应原函数在定义域内（每个连续的区间）
为单调函数
较简单。
二、 巩固作业：
1.
已知函数 ( )ln.af xxx=−， 求( )f x 的单调区间.
解：( )221+,axaf x′xxx+∞=+=函数的定义域为（0， ）
，
( )"0f xxa== −令得：
( )f( )f x( )+∞( )( )f x()000,(0,)000,0(,)aafaafa′−≤≥>∴+∞′′−><><∴−若即， 则x在上单调递增；若即， 则由x得x>-a由x得x<-a在上单调递增, 在0, -a上单调递减.
( )( )f x() 0总之， 当时， 在上单调递增；(0,)0(,)af xaa≥+∞<−+∞
当时， 在上单调递增, 在0, -a上单调递减.
2. 已知函数 f(x)=21x2－ax+(a－1) ln x， 讨论函数( )f x 的单调性,求出其单调区间。
解：
( )f x 的定义域为 (0,)+∞ . 2"11(1)(1)( )axaxaxxaf xxaxxx−−+ −−+ −=− +==()()11=xxax−−− ( )"1201,1f xxxa===−令得: (1)100)( "f; 10)( "f101<<⇔<>⇔>≤≤−xxxxaa时，即若
单调递减在单调递增在此时) 1 , 0 (,), 1 ()(+∞∴xf (2)时，1即0若1>>−aa
①若11a − = 即2a =时，2"(1)( )xf xx−=>0, 故( )f x 在(0,)+∞ 单调递增. ②若 0<11a − < ,即12a<<时，
由"( )f x <0得，11ax− << ； 由"( )f x >0得， 011xax<<−>或
故( )f x 在(1,1)a −单调递减， 在 (0,1),(1,)a −+∞ 单调递增. ③若11a − > ,即2a >时，
由"( )f x <0得， 11xa<<− ； 由"( )f x >0得， 011xxa<<>−或 故( )f x 在(1,1)a −单调递减， 在 (0,1),(1,)a − +∞ 单调递增.
综上所述， 当1a ≤ ，( )f x 单调增区为 ), 1 ( +∞ ,减区间是) 1 , 0 (;
当12a<<时，( )f x 的减区间是 (1,1)a −， 增区间是 (0,1),(1,)a −+∞ ；
当2a =时，( )f x 在定义域上递增， 单调增区为 (0,)+∞ （不存在减区间）
;
当2a >时，( )f x 的减区间是 (1,1)a −， 在增区间是 (0,1),(1,)a − +∞ .
3.
已知函数 f ( x ) =ln(1+ x ) - x +2x (k ≥0) ， 求 f ( x ) 的单调区间.
解：( 1,)x∈ − +∞ ，(1)"( )f x1x kxkx+ −+=.
( )()"12100,,0kf xxxkk−===≠令得: （1）
当0k =时，"( )f x1xx= −+.
所以， 在区间 ( 1,0)−上，"( )f x >0； 在区间 (0,)+∞ 上，"( )f x <0.
故( )f x 的单调递增区间是 ( 1,0)−， 单调递减区间是 (0,)+∞ .
（2）
当2111kxk−≤ −≤ −即时， 考虑到k>0得， 无解.
（3）
当21xx=即1k = 时，2"( )f x01xx=>+
故 ( )f x 的单调递增区间是 ( 1,)− +∞ .
（4）
当21xx>即 01k<< （0k ≥）
时，
由"( )f x <0得，10kxk−<<； 由"( )f x >0得，110kxxk−− <<>或 故( )f x 的单调递增区间是 ( 1,0)−和1(,)kk−+∞ ， 单调递减区间是1(0,)kk−.
（5）
当21xx<即1k > （0k ≥）
时，
由"( )f x <0得，10kxk−<<； 由"( )f x >0得，110kxxk−− <<>或 故( )f x 的单调递增区间是1( 1,−)kk−和 (0,)+∞ ， 单调递减区间是1(,0)kk−.
综上知: 当0k =时，( )f x 得单调递增区间是 ( 1,0)−， 单调递减区间是 (0,)+∞ ；
当1k = 时，( )f x 的单调递增区间是 ( 1,)− +∞ ；
当 01k<< 时，( )f x 的单调递增区间是 ( 1,0)−和1(,)kk−+∞ ， 单调递减区间是1(0,)kk−
当1k > 时，( )f x 的单调递增区间是1( 1,−)kk−和 (0,)+∞ ， 单调递减区间是1(,0)kk−.