排列组合练习题

　环球雅思学科教师辅导教案

　 学员编号：

　年

　级：

　高

　三

　课

　时

　数：3 3

　学员姓名：

　辅导科目：数

　学

　学科教师：

　李龙海

　授课类型

　T T- - 概念与基础讲解

　C C- - 强化考点

　T T- - 典题练习+ + 同步高考

　星

　级

　★★★

　★★★

　★★★

　教学目的

　 掌握高考基本考点，同步高考方法与技巧点拨。

　授课日期及时段

　2015 5 年

　月

　日

　教学内容

　排列组合

　 有 加法原理：如果完成一件事情有 n n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法， ...... ，在第 n n 类办法中有nm 种不同的方法，那么完成这件事共有nm m m N     2 1种不同的方法。

　 乘法原理：如果完成一件事情需要 n n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法， ...... ，第 n n步有nm 种不同的方法，那么完成这件事共有nm m m N 2 1  种不同的方法。

　从 n 个不同的元素中取出 ) ( n m m  个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从 从 n n 个不同的元素中取出 m m 个元素的一个排列 从 n 个不同的元素中取出 ) ( n m m  个元素的所有排列的个数叫做从 从 n n 个不同的元素中取出 m m 个元素的排列数，用符号mnP 表示 ) 1 ( ) 2 )( 1 (      m n n n n P mn

　 排列数公式 1 2 3 ) 2 )( 1 (       n n n P nn

　全排列 )! (!m nnP mn

　 排列数公式

　从 n 个不同的元素中取出 ) ( n m m  个元素组成一组，叫做从 从 n n 个不同的元素中取出 m m 个元素的一个组合 从 n 个不同的元素中取出 ) ( n m m  个元素的所有组合的个数叫做从 从 n n 个不同的元素中取出 m m 个元素的组合数，用符号mnC 表示 组合数公式 !) 1 ( ) 2 )( 1 (mm n n n nPPCmmmnmn     加法法则 乘法法则 排列 组合

　)! ( !!m n mnCmn

　 一、特殊元素和特殊位置优先策略

　 【例1】某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有

　 （A）36种 （B）42种

　（C）48种 （D）54种

　分析：甲、乙、丙有特殊要求，可以优先考虑。

　解：分两类计算：若甲排在第一位，若甲排在第二位，所以按照要求该台晚会节目演出顺序的编排方案共有42331344  P C P （种），故选 B。

　 二、相邻元素捆绑策略

　 【例2】4个男同学、3个女同学站成一排，3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

　分析：3个女同学可以看成一个整体，再与4个男同学排队。

　解：先把3个女同学排好，有33P ，然后把女同学看成一个元素和男同学排队，有55P 。由分步计数原理，有 5533P P 不同排法。

　 三、不相邻问题插空策略

　 【例3】4个男同学、3个女同学站成一排，任何2个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

　分析：女同学不相邻，可以插到男同学中间。

　解：先将男生排好，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生。由分步计数原理，有 14403544 P P种不同排法。

　T T ：

　排列组合的题型

　特殊元素和特殊位置优先 策略

　相邻元素捆绑 策略

　不相邻问题插空 策略

　 四、定序问题缩倍、空位等策略

　 【例4】7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？

　分析：缩倍法：可以先将所有的元素排好，再除以这几个元素的全排列。空位法：设想有7个位置，先让其他的人坐好，再让甲、乙、丙坐。

　解法一：（缩倍法）先将这7个人全排列，然后再除以甲、乙、丙3人的全排列。所以共有 8403377PP种不同排法。

　解法二：（空位法）设想有7个位置，先让其他的人坐好，再让甲、乙、丙坐余下的3个位置，有1种方法，所以共有 84047 P 种不同排法。

　 五、先选后排策略

　 【例5】有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？

　分析：显然有2个小球装入了同一个盒内，所以需要选出2个小球看做一组。

　解：第一步，从5个小球中选出2个组成一组，第二步，把这2个和另外3个看成4组放入盒内，所以共有 2404425 P C

　种装法。

　六、相同元素隔板策略

　 【例6】现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？

　分析：因为名额没有差别，所以只要看这个学校分到几个名额即可。

　解：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有 8469 C 种不同方法。

　 七、正难则反策略

　 【例7】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法有多少种？

　分析：甲、乙分到同一个班的情况只有一种，可用间接法，总体淘汰。

　解：四名学生中任两名学生分在一个班的种数是 624 C 种 ，三组分到三个不同的班种数有 363324 P C 种，而甲、乙被分在同一个班的有 633 P 种，所以共有30种。

　定序问题缩 倍、空位等 策略

　先选后排 策略

　相同元素隔板 策略

　正难则反 策略

　排列组合练习题 1.现有 8 个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（ C ）

　（A）3 35 3P P 

　 （B）8 6 38 6 3P P P  

　 （C）3 56 5P P 

　（D）8 48 6P P 

　2．某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为（

　 A

　）

　A ．35

　B ．815；

　C ．25；

　 D ．15． 3．小王同学有 4 本不同的数学书， 3 本不同的物理书和 3 本不同的化学书，从中任取 2 本，则这 2 本书属于不同学科的概率为_____11/15______（结果用分数表示）． 4．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 m ，第二次出现的点数记为 n ，方程组  2 3 23y xny mx，只有一组解的概率是 17/18

　 ．（用最简分数表示）

　5．从集合   1,2,3,4,5 中随机选取 3 个不同的数，这 3 个数可以构成等差数列的概率为

　 2/5

　. 6． 1, 2, , n 共有 ! n 种排列1 2, , ,na a a （ 2, n n N  ），其中满足“对所有 1, 2, , k n  都有 3ka k   ”的不同排列有

　 34 6n

　种． 7．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到 D C B A 、 、 、 四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位 A 服务的概率是______1/40______． 8．现有 20 个数，它们构成一个以 1 为首项，-2 为公比的等比数列，若从这 20 个数中随机抽取一个数，则它大于 8 的概率是

　 2/5

　． 9．下列排列数中，等于*( 5)( 6) ( 12) ( 13, ) n n n n n N      的是（

　 C

　）

　A ．712 nP  ；

　B ．75 nP  ；

　C ．85 nP  ；

　D ．812 nP  ． 10．将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为 b 和 c ，则函数 c bx x x f    2 ) (2图像与 x轴无公共点的概率是

　7/36

　 ．

　11．甲、乙、丙 3 人安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有 20

　 种． 12、( 2013 奉贤二模 13 )已知函数 ( ) 6 4( 1,2,3,4,5,6) f x x x    的值域为集合 A ，函数1( ) 2 x g x ，( 1,2,3,4,5,6) x  的值域为集合 B ，任意 a A B  ，则 a A B  的概率是

　1/3

　 ． 13、1 袋中装有 7 个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为

　1/7

　． 14、( 2013 浦东二模文 12)某人从分别标有 1、2、3、4 的四张卡片中任意抽取两张，并按如下约定记录抽取结果：

　如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记录下来；如果出现一奇一偶，则记下它们的差的绝对值，则出现记录结果不大于 3 的概率为

　2/3

　. 15、甲乙丙丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第 四 位 ， 则 所 有 可 能 的 站 法 数 为 多 少 种 ? C

　 A.6

　 B.12

　 C.9

　D.24 16、马路上有编号为 l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种 ? B

　 A.60

　B.20

　C.36

　 D.45 17、用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，可组成多少个不同的四位数? A

　 A .300

　 B.360

　 C.120

　 D.240 18 、 10 个 名 额 分 配 到 八 个 班 ， 每 班 至 少 一 个 名 额 ， 问 有 多 少 种 不 同 的 分 配 方 法 ?B

　 A.45

　 B.36

　C.9

　 D.30 19 、 六 人 站 成 一 排 ， 求 甲 不 在 排 头 ， 乙 不 在 排 尾 的 排 列 数 ? D

　 A.120

　 B.64

　 C.124

　 D.504 20.以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是（ D

　 ）

　A ．34C ；

　B ．1 38 7C C

　 C ．1 38 7C C -6．

　D ．4812 C  ．

　 21、从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有 （

　B

　）

　A.8 种

　B.12 种

　C.16 种

　D.20 种

　22、 计划在某画廊展开10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有？种 5760 25544 P P

　23、 有8本互不相同的书，其中数学书3本，外语书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有？种 1440552233 P P P

　24、 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有？种排法 28803455 P P

　 25、某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况? 2025 P

　 26、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植甲、乙两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求甲、乙两种作物间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有？种。

　12 27、8个人排成一排，其中甲、乙、丙3人中，有两个相邻，但这3个不同时相邻排列，求满足条件的所有不同排法的种数。

　21600 2262355 P C P

　28、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（D ）

　A、150种 B、147种 C、144种 D、141种 29、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（ B）种 A、280 B、240 C、180 D、96 30、 10名学生分坐两行，要求面对面坐下，但其中甲乙两个同学不可相邻也不可面对面，有多少种坐法？ 882214128822151010P P C C P P C P  

　31、9人排成两排，第一排4人，第二排5人，规定甲不能排在第一排，乙不能排在第二排，共有几种不同的排法？ 14400771415 P C C

　32、将组成篮球队的 12 个名额分配给 7 所学校，每校至少 1 个名额，问名额分配的方法共有多少种？ 462611 C

　33、10 级楼梯，要求 7 步跨完，且每步最多跨 2 级，问有几种不同的跨法？ 35334477p pp 34、已知直线2 1 //ll，在1l上取 3 个点，在2l上取 4 个点，每两个点连成直线，那么这些直线在1l、2l之间的交点（不包括1l、2l上的点）最多有几个？A A、18

　 B、20

　C、24

　 D、36 35、一张节目表上原有 3 个节目，如果保持这 3 个节目的相对顺序不变，再添进去 2 个新节目，有多少种安排方法？A A.20

　B.12

　 C.6

　 D.4

　36、某小组有四位男性和两位女性，六人围成一圈跳集体舞，不同的排列方法有多少种？D A．720

　B．60

　C．480

　D．120 37、5 个小朋友站成一圈，一共有多少种不同的站法？D A. 120

　B. 60

　 C. 30

　 D. 24 38、某展览馆计划 4 月上旬 10 天接待 5 个单位来参观，其中 2 个单位人较多，分别连续参观 3 天和 2天，其他单位只参观 1 天，且每天最多只接待 1 个单位。问：参观的时间安排共( )种。C A.30

　B.120

　 C.2520

　D.30240 39、三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过 5 次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数是：C A.6

　 B.8

　 C.10

　D.16 40、三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?

　76 839  C

　【4 2014 年秋】安徽省高考数学（理）秋季复习训练题

　排列组合、二项式定理

　一

　选择题

　【2012 安徽（理）真题 7】2 521( 2)( 1) xx  的展开式的常数项是

　 （

　 ）

　A． 3 

　B． 2 

　 C． 

　D． 

　【答案】．D 【2012 安徽（理）真题 10】6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到 4 份纪念品的同学人数为

　（

　 ）

　A． 1 或 3

　 B． 1 或 4

　 C． 2 或 3

　D． 2 或 4

　【答案】．D

　1 ．（安徽省望江四中 2014 届高三上学期第一次月考数学理试题）一个盒子里有 3 个分别标有号码为 1,2,3 的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取 3 次,则取得小球标号最大值是 3 的取法有 （

　）[来源:学+科+网] A．12 种 B．15 种 C．17 种 D．19 种 【答案】D

　 1 ．（安徽省江南十校 2014 届新高三摸底联考数学理试题）已知函数 的定义域为 为正整数),值域为[0,2],则满足条件的整数对(m,n)共有 （

　）

　A．1个 B．7 个 C．8 个 D．16 个 【答案】B

　二

　填空题

　【2014 安徽（理）真题 13】.设 n a , 0  是大于 1 的自然数，nax 1 的展开式为 nn xa x a x a a     22 1 0。若点 ) 2 , 1 , 0 )( , (  i a i Ai i 的位置如图所示，则 ______  a。

　【答案】． 3 a 

　【2013 安徽（理）真题 11】若83axx   的展开式中4x 的系数为 7，则实数 a  ______． 【答案】．21 【2011 安徽（理）真题 12】设 ( ) x a a x a x a x         L ，则

　 ．[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 【答案】．0 ． （ 安 徽 省 望 江 二 中 2014 届 高 三 复 习 班 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 （ 理 ）

　试 题 ）

　设

　5 2 60 1 2 6(1 )(1 2 ) - + = + + + 鬃? x x a a x a x a x ,则2a = ___________. 【答案】30

　 1 ．（安徽省池州一中 2014 届高三第一次月考数学（理）试题）已知30sin a xdx  ,则71x xax   的展开式中的常数项是_________(用数字作答). 【答案】301 1sin cos 1 32 20a xdx x      ,因而要求72x xx   展开式中的常数项是,即求72xx   展开式中的1x  的系数,由展开式的通项公式7 7 21 7 72 2r r r r r r rrT C x x C x      ,则令 7 2 1 r   ,解得 4 r  ,从而常数项为4 472 560 C  ;