旋转综合题

 旋转综合题 1. . .如图 13,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 233   x y 分别交 x 轴、y 轴于 C、A两点.将射线 AM 绕着点 A 顺时针旋转 45°得到射线 AN.点 D 为 AM 上的动点,点 B 为AN 上的动点,点 C 在∠MAN 的内部. (1)

 求线段 AC 的长; (2)

 当 AM∥x 轴,且四边形 ABCD 为梯形时,求△BCD 的面积; (3)

 求△BCD 周长的最小值; (4)

 当△BCD 的周长取得最小值,且 BD=5 23时,△BCD 的面积为

  . (第(4)问只需填写结论,不要求书写过程)

 图 13 解:(1)∵直线 y = -33x +2 与 x 轴、y 轴分别交于 C、A 两点, ∴ 点 C 的坐标为(2 3 ,0),点 A 的坐标为(0,2).----------------------1 分 ∴ AC=4.

 -----------------------------2 分 (2)如图 1,当 AD∥BC 时, 依题意,可知∠DAB = 45°,

 ∴ ∠ABO = 45°. ∴ OB = OA= 2. ∵ OC = 2 3 ,

 ∴ BC = 2 3 -2. ∴ S △ BCD =21BC•OA = 2 3 -2.---------------------------3 分 如图 2,当 AB∥DC 时. 可得 S △ BCD = S △ ACD . 设射线 AN 交 x 轴于点 E. ∵ AD∥x 轴, ∴ 四边形 AECD 为平行四边形. ∴ S △ AEC = S △ ACD .

 图 图3FEDCBA图 图2FEDC BA图 图1NMP∴ S △ BCD =S △ AEC =21CE•OA= 2 3 -2. 综上所述,当 AM∥x 轴,且四边形 ABCD 为梯形时,S △ BCD = 2 3 -2. ----------4 分 (3)如图 3,作点 C 关于射线 AM 的对称点 C 1 ,点 C 关于射线 AN 的对称点 C 2 .

  ---------------------------------5 分 由轴对称的性质,可知 CD=C 1 D,CB=C 2 B. ∴ C 2 B + BD + C 1 D= CB + BD +CD. 连结 AC 1 、AC 2 , 可得∠C 1 AD=∠CAD,∠C 2 AB=∠CAB,AC 1 =AC 2 =AC=4. ∵ ∠DAB = 45°, ∴ ∠C 1 AC 2 =90°. 连结 C 1 C 2 . ∵ 两点之间线段最短, ∴ 当 B、D 两点与 C 1 、C 2 在同一条直线上时,△BCD 的周长最小,最小值为线段 C 1 C 2 的长. ∴△BCD 的周长的最小值为 4 2 .

  ------------7 分 (4)43.

  --------------------------------8 分

  图 1

 图 2

  图 3

 2. 如图 1,点 P 是线段 MN 的中点,请你利用该图形画一对以点 P 为对称中心的全等三角形. 请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:

 (1)如图 2, 在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB>AC,点 D 是 BC 边中点,过 D 作射线交 AB 于 E,交 CA 延长线于 F,请猜想∠F 等于多少度时,BE=CF(直接写出结果,不必证明). (2)如图 3,在△ABC 中,如果∠BAC 不是直角,而(1)中的其他条件不变,若 BE=CF的结论仍然成立,请写出△AEF 必须满足的条件,并加以证明.

 解:图略.画图正确得 1 分. (1)∠F=45°时,BE=CF.

 ………………2 分 (2)答:若 BE=CF 的结论仍然成立,则 AE=AF,△AEF 是等腰三角形. ………………3 分

  证明:延长 FD 到点 G,使得 FD=GD,连结 BG. ………………4 分

  ∵ 点 D 是 BC 边中点, ∴ DC=DB .

 在△DCF 和△DBG 中

  ,,,DC DBCDF BDGDF DG   

 ∴ △DCF≌△DBG.

  ………………5 分 ∴ ∠F=∠G.,CF =BG .

 当△AEF 是等腰三角形,AE=AF 时,

 ∠F=∠2

 .

  ∵∠1=∠2 ,∴ ∠1=∠G..

  ………………6 分 ∴ BE=BG .

 ∴ BE= CF .

  ………………7 分 3.已知:如图①,△ABC 是等边三角形,四边形 BDEF 是菱形,其中 DF=DB,连接 AF、CD. (1) 观察图形,猜想 AF 与 CD 之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不必证明; (2) 将菱形 BDEF 绕点 B 按顺时针方向旋转,使菱形 BDEF 的一边落在等边△ABC 内部,在图②中画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,请问:(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由; (3) 在上述旋转过程中,AF、CD 所夹锐角的度数是否发生变化?若不变,请你求出它的度数,并说明你的理由;若改变,请说明它的度数是如何变化的.

 21GFEDCBA

  解:(1)AF=CD.

 …………………………………………………………… 1′

 (2)变换后的菱形 BDEF 如图,结论 AF=CD 仍然成立.

  理由:在等边△ABC 中,AB=BC,

  在菱形 BDEF 中,BF=BD.

  ∵ DF=DB, ∴ DF=DB=BF. ∴ ∠FBD=∠ABC =60°.

 ∴ ∠FBD-∠1=∠ABC-∠1. 即 ∠2=∠3.

  ∴ △ABF≌△CBD. ∴ AF=CD.

  …………………… 4′

  (3)不变化;60°.

  设 CD 与 AF 交于点 O,与 AB 交于点 G,

 由(2)知:∠BAF=∠BCD,

 又 ∠AGO=∠CGB, ∴ ∠AOC=∠ABC=60°. 即 AF 与 CD 所夹锐角始终为 60°.

 ……………………………………………… 7′ 4.操作:在△ABC 中,AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点 P 处,将三角板绕点 P 旋转,三角板的两直角边分别交射线 AC、CB 于 D、E 两点,图①②③是旋转三角板得到的图形中的其中三种.

 探究:(1)三角板绕点 P 旋转,观察线段 PD 和 PE 之间有什么大小关系?它们的关系为

 ,不必写出证明过程.(本问 1 分)

  (2)三角板绕点 P 旋转,△PBE 能否成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即求出△PBE 为等腰三角形时线段 CE 的长);若不能,请说明理由. (本问 4 分)

  (3)若将三角板顶点放在斜边上的 M 处,且 AM∶MB=1∶ n ( n 为大于 1 的整数),和前面一样操作,试问线段 MD 和 ME 之间又有什么大小关系?仿照图①、图②、图③的情况,请选择一种,写出证明过程.(本问满分 3 分,仿照图①得 1 分、仿照图②得 2分、仿照图③得 3 分;图④供操作、实验用).

 (2)

 解:

 AC BM④ ① PAC BDEEPAC BD③ ② EPAC BD

  (3)结论为:

  . 证明:

  4. 解:(1)PD=PE(或相等);…………………………………………………………1 分

  (2)共有四种情况,

 ①当点 C 与点 E 重合,即 CE=0 时,PE=PB

  ②当 CE=2 2  ,此时 PB=BE ③当 CE=1 时,此时 PE=BE

 ④当 E 在 CB 的延长线上,且 CE= 2 2 时,此时 PB=EB.……………………5 分

 (注:每答出一种情况得 1 分) (3)结论:MD∶ME=1∶n (ⅰ)如图⑤,选择样式①的方法:

 ∵AM∶MB=1∶n, ∴AM∶AB=1∶(n+1). ∵MD∥BC, ∴11 n ABAMBCMD. 同理,ME∥AC,∴1  nnBCBEACME. ∴MD∶ME=1∶n……………………………………………………………………6 分

 (ⅱ)如图⑥,选择样式②的方法:

 过点 M 作 MF⊥AC,MG⊥BC,垂足分别是 F、G,

 ∴MG//AC,MF//BC

 ∴四边形 CGMH 是平行四边形.

 ∵∠C=90°,

 ∴四边形 CGMH 为矩形.

 ∴∠FMG=90°,

  ∴∠DMF+∠DMG=∠DMG+∠EMG=90°.

 ∴∠DMF =∠EMG.

 ∵∠MFD=∠MGE=90°,

 ∴△MFD∽△MGE. AC BMED⑤ AC BMEDFG⑥ ACBMFGDE⑦ (E)(D)PAC BDEPAC BDEPAC B① ② ③ ④ DPACB E

  ∴MGMFMEMD .

 由(ⅰ)已证n MGMF 1 ,

 ∴MD∶ME=1∶n.……………………………………………………………………7 分

 (ⅲ)如图⑦,选择样式③的方法,证明过程仿(ⅱ).…………………………8 分

 5.已知正方形 ABCD 和等腰 Rt0, , 90 , BEF EF BE BEF    按图 1 放置,使点 F 在 BC上,取 DF 的中点 G,连 EG 、CG. (1)探索 EG、CG 的数量关系,并说明理由; (2)将图 1 中 BEF 绕 B 点顺时针旋转045 得图 2,连结 DF, 取 DF 的中点 G,问(1)中的结论是否成立,并说明理由; (3)将图 1 中 BEF 绕 B 点转动任意角度(旋转角在 0 到090 之间)得图 3,连结 DF,取DF 的中点 G ,问(1)中的结论是否成立,请说明理由;

  解:

 (1)EG=CG 证明:∵∠DEF=∠DCF=900 ,DG=GF, ∴12EG DF CG   ………………………2 分 (2)EG=CG 证明:过点 F 作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 M, 连结 MG。

 ∴EF=CM,易证 EFCM 为矩形 ∴∠EFG=∠GDM 在直角三角形 FMD 中,∴DG=GF, ∴FG=GM=GD ∴∠GMD=∠GDM. ∴∠EFG=∠GMD

  ∴△EFG≌△GCM. EG=CG.………………………5 分

 (3)取 BF 的中点 H,连结 EH,GH,取 BD 的中点 O,连结 OG,OC ∵CB=CD,∠DCB=900 ,∴12CO BD  . ∵DG=GF, 图2GFBDACEM图3HOGFBDACE图1GF BDACE图2GFBDACE图3GFBDACE

 1// , .21// , .2GH BD GH BDOG BF OG BF  且且 ∴CO=GH.∵△BEF 为等腰直角三角形,∴1.2EH BF  ∴EH=OG. ∵四边形 OBHG 为平行四边形,∴∠BOG=∠BHG. ∵∠BOC=∠BHE=900 ,∴∠GOC=∠EHG.∴△GOC≌△EHG.∴EG=GC.