空间向量基本定理的实用价值 空间向量基本定理为空间向量制定了规范、统一、和协的基调,为解题提供了一条有章可循的思路。
1.1
基底的优越性 使用统一的基底,把图形中的所有向量都用这统一的基底来表示,使几何问题转化的代数问题来解决。思路单一,便于掌握。
例 1.在平行六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,体对角线 AC 1 与平面A 1 BD、平面 CB 1 D 1 分别相交于点 M、N。求证:AM:MN:NC 1 =1:1:1
则
由点 M 在直线 AC 上,则可设
由点 M 在平面 A 1 BD 内,及空间向量基本定理知:
存在唯一有序实数组
即:
由唯一性知:
同理可证:
故
AM:MN:NC 1 =1:1:1 } { :1AA , , AD , , AB 取基底 解1 1AA AD AB AC 1AC AM 11 z y x AA z AD y AB x AM z y x 且 使 , ), , , (1 1AA z AD y AB x AA AD AB zyx 131311 3 AC AM 即 , , A C CN131 AC MN31 A D 1
C 1
B 1
D C A 1
B M N
例 2.平行六面体 AC 1 中,AB=AD=1,AA 1 =2,∠A 1 AB=∠A 1 AD=∠BAD=60° 求①点 B 到平面 AA 1 D 1 D 的距离;②BD 1 与平面 AA 1 D 1 D 的夹角的大小。
解:设点H是点B在平面AA 1 D 1 D内的射影,取基底{ },则存在唯一有序实数组(
因 BH ⊥ 平 面 AA 1 D , 故 BH ⊥ AA 1 , 且 BH ⊥ AD ,
1AA AD AB , ,1AA z AD y AB x BH z y x 使 ), , , (01 AD BH AA BH 0011 1AD AA z AD y AB xAA AA z AD y AB x) () ` ( 001221 1 1AD AA z AD y AD AB xAA z AA AD y AA AB x 0 2 20 4z y xz y xz x z y 6 2 ,12 6 AA z AD z AB z BH 12 6 1 AA z AD z AB z BH AB AH ) (311610 6 11 y x z z AA AD AH , , , , 三个向量共面 与 16131AA AD AB BH 21226131) ( AA AD AB BH BH 32913132361911 1 12 2 AA AD AA AB AD AB AA AD AB
故 点 B 到平面 AA 1 D 1 D 的距离即 BH 的长是
②
故 BD 1 与平面 AA 1 D 1 D 所成角的大小是 。
1.2.基底的灵活选取 例 3.如图,在棱长都相等的四面体 ABCD 中, E、F 分别是棱 AD、BC 的中点,连接 AF、CE。
求异面直线 AF 与 CE 所成角的大小 (1988 年上海高考题)
解:设 AB=2AE= ,
取基底{ }, 则
又
3621212121) ( ) ( AA AD AB BB BC BA BD BD 521 ) ( AA AD AB153011 BDBHBH D sin1530arcsina AB AE AC , ,AC AE CE AC AB AF ), (21) ( ) ( AC AE AC AB CE AF 21222121a AC AC AB AE AC AE AB ) (a CE AF23 32 CE AFCE AFCE AF, cosF E A B D C
故 AF 和 CE 所成角的大小是
。
空间直角坐标系的应用 2.1.化繁为简求角值,避重就轻求距离 例 4.如图,在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°侧棱 AA 1 =2,点 D、E 分别是 CC 1
和 A 1 B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G。
求: ① A 1 B 与平面 ABD 所成角的大小。
② 点 A 1 到平面 AED 的距离。
解:①连结 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 内的射影, 即∠A 1 BG 是 A 1 B 与平面 ABD 所成的角。
如图建立空间直角坐标系,C 与坐标原点重合。
设 CA=2 ,则 A(2 ,0,0),B(0,2 ,0), D (0,0,1) A 1 (2 ,0,2), E(a,a,1),G( , , ).
32arccosa a aa32a32a31). 1 , 2 , 0 ( ),32,3,3( a BDa aGE . 1 , 032322 a a BD GE 解得).31,34,32( ), 2 , 2 , 2 (1 BG BAA 1
C 1
C B 1
A B D E G
即 A 1 B 与平面 ABD 所成的角是 arccos . ②由①知,A(2,0,0),A 1 (2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).
∴ED⊥平面 AA 1 E,
又 ED 在平面 AED 内,
∴平面 AED⊥平面 AA 1 E,
又平面 AED 与平面 AA 1 E 相交于AE,
∴点 A 1 在平面 AED 的射影 K 在 AE 上.
设
由
即λ+λ+λ-2=0.
解得λ= .
故 到平面D 的距离是
2.2.引进坐标列方程,待定系数显思想 (19)(本题满分 12 分)
如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB= ,AF=1,M 是线段 EF 的中点. (Ⅰ)求证 AM∥平面 BDE; 3721313 2314cos111 BG BABG BABG A370 ) 0 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 1 ( ED AE0 ) 0 , 1 , 1 ( ) 2 , 0 , 0 (1 BD AA). 2 , , ( ,1 1 1 AK A A K A , , AE K A AE AK 则 则, 01 AE K A32.36 2),34,32,32(1 1 K A K A.36 22
(Ⅱ)求二面角 A—DF—B 的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 CMN 的距离.
方法二
(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ,连接 NE,
则点 N、E 的坐标分别是( 、(0,0,1),
∴NE=( ,
又点 A、M 的坐标分别是 ( )、(
∴ AM=(
∴NE=AM 且 NE 与 AM 不共线, ∴NE∥AM. 又∵ 平面 BDE, 平面 BDE, ∴AM∥平面 BDF. (Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF
∴AB⊥平面 ADF. ∴ 为平面 DAF 的法向量. ∵NE·DB=( · =0, N BD AC ) 0 ,22,22) 1 ,22,22 0 , 2 , 2 ) 1 ,22,22) 1 ,22,22 NE AM, A AD ) 0 , 0 , 2 ( AB) 1 ,22,22 ) 0 , 2 , 2 (
∴NE·NF=( · =0 得 NE⊥DB,NE⊥NF, ∴NE 为平面 BDF 的法向量. ∴cos<AB,NE>= ∴AB 与 NE 的夹角是 60º. 即所求二面角 A—DF—B 的大小是 60º. (Ⅲ)设 P(t,t,0)(0≤t≤ )得
∴CD=( ,0,0)
又∵PF 和 CD 所成的角是 60º. ∴
解得 或 (舍去), 即点 P 是 AC 的中点.
2.两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在的平面相交在直线AB , 点 M 、 N 分 别 是 对 角 线 AC 和 BF 的 点 , 且
C
) 1 ,22,22 ) 0 , 2 , 2 (212), 1 , 2 , 2 ( t t PF 22 1 ) 2 ( ) 2 (2 ) 2 (60 cos2 2 t tt22 t22 3 t. , . ,31的值 求 y x AF y AD x MNNBFNMCAM
D
M B E
N
A F
(19)(本小题满分 12 分)
如图,在棱长为 1 的正方体 中, E 、 F 分别是 、 的中点. (Ⅰ)求二面角 的大小; (Ⅱ)求点 B 到面 的距离.
方法二:过点 B 作 BQ⊥平面 AEC 1 F 于 Q, 连 AQ,则 BQ 即为点 B 到平面 AEC 1 F 的距离. 如图,建立空间直角坐标系,且可得
设平面 AEC 1 F 的一个法向量为 则由
∴
1 1 1 1D C B A ABCD 1 1 BA CDB AF E F AEC 1, , , 、 , ,, , , 、 , , 、 , ,) 1210 ( ) 0 1 0 () 1211 ( ) 0 1 1 ( ) 0 0 1 ( AE ABE B A, , , ) ( z y x n . , , ,所以 、 ,则 令, , , , ,, , , , ,) 1 2 1 ( 1 1 202) 1210 )( (02) 0211 )( ( n x z yzyz y x AE nyx z y x AF n, ,BA nBA nBA n ABQ cos cosA B B 1
C D D 1 C 1 A 1 E F
∴在 Rt△ABQ 中,
18. 如右下图,在长方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA 1 = 2. E、F 分别是线段AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. (1) 求二面角 C—DE—C 1 的正切值; (2) 求直线 EC 1 与 FD 1 所成的余弦值.
18.解:(I)以 A 为原点, 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系,则有 D(0,3,0)、D 1 (0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1 (4,3,2) 于是,
设向量 与平面 C 1 DE 垂直,则有
(II)设 EC 1 与 FD 1 所成角为β,则 .36cos nBA nABQ AB BQ1, , AA AD AB) 2 , 2 , 4 ( ), 2 , 3 , 1 ( ), 0 , 3 , 3 (1 1 FD EC DE) , , ( z y x n 22tan364 0 0 4 1 12 2 0 1 0 1| | | |cos, ) 2 , 0 , 0 (, ), 2 , 1 , 1 (0 ), 2 , 1 , 1 (2) ,2,2(210 2 30 3 31 01 01 1 011 0 01 AA nAA nC DE C AA nCDE AADE C n nzzzz znz y xz y xy xEC nDE n的平面角 为二面角 所成的角 与垂直 与平面 向量垂直的向量 是一个与平面 则 取其中D 1C 1B 1CDBAA 1EF
19.(本小题满分 12 分)
如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD中,∠ABC=600 ,PA=AC= a ,PB=PD= ,点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (I)证明 PA⊥平面 ABCD; (II)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 的大小; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF//平面 AEC?证明你的结论.
(Ⅲ)解法一
以 A 为坐标原点,直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直平面 PAD 的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为
14212 2 ) 4 ( 2 3 12 2 2 3 ) 4 ( 1| | | |cos2 2 2 2 2 21 11 1 FD ECFD ECa 2). 0 ,21,23( ), 0 ,21,23( ), 0 , 0 , 0 ( a a C a a B A ).31,32, 0 ( ), , 0 , 0 ( ), 0 , , 0 ( a a E a P a DD P B A C E
所以
设点 F 是棱 PC 上的点, 则
令
得
解得
即 时,
亦即,F 是 PC 的中点时, 、 、 共面. 又
BF 平面 AEC,所以当 F 是棱 PC 的中点时,BF//平面AEC. 因为
所以
、 、 共面. 又 BF 平面 ABC,从而 BF//平面 AEC.
19.(本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC—A 1 B 1 C 1 中,∠BAC=90°,AC=AB=A 1 A,
E 是 BC 的中点.
(1)求异面直线 AE 与 A 1 C 所成的角; ). 0 ,21,23( ),31,32, 0 ( a a AC a a AE ). ,21,23( ), , 0 , 0 ( a a a PC a AP ). ,21,23( a a a BP , 1 0 ), ,21,23( 其中 a a a PC PF) ,21,23( ) ,21,23( a a a a a a PF BP BF )). 1 ( ), 1 (21), 1 (23( a a a AE AC BF2 1 .311,341, 1.31) 1 (,3221) 1 (21,23) 1 (2322 1122 11 即a aa a aa a.23,21,212 1 21 .2321AE AC BF BF AC AE) (2121DP CD AD CP BC BF .2123) (23) (212321AC AEAD AE AC AD AD DE CD AD BF AE AC
(2)若 G 为 C 1 C 上一点,且 EG⊥A 1 C,试确定 G 的位置;
(3)在(2)的条件下,求二面角 A 1 —AG—E 的大小.
19.解:(1)以点 A 为坐标原点,分别以 AB、AC、AA 1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立坐标系
设 AC=AB=A 1 A=2 a ,则有 E ( )A 1 ( ),C ( )
(2 分)
所以异面直线 AE 与 A 1 C所成的角是
(4 分)
(2)设 CG=h,则 G(0,2a,h),
(6 分)
即
所 以 , G 是 CC 1 的 中 点 .
(8 分)
(3)连 AG,设 P 是 AC 中点,过 P 作 PQ⊥AG,Q 是垂足,连EP、EQ.
又三棱柱是直三棱柱, 平面ACC 1 A 1
∴PQ 即为 EQ 在平面 ACC 1 A 1 上的射影.
又 PQ⊥AG,
∴EQ⊥AG,
∴∠PQE 为二面角 C—AG—E 的平面角.
(10 分)
同(1)有:PE= a , AP= a
,PQ=
即二面角 C—AG—E 的平面角是0 , ,a a a 2 , 0 , 0 0 , 2 , 0 a) 2 , 2 , 0 ( ), 0 , , (1a a C A a a AE .212 2 22| || |, cos2111 a aaC A AEC A AEC A AE.3) , , ( h a a EG 0 ,1 1 C A EC C A EG . , 0 2 22a h ah a . , 90 AC EP BAC EP,51a. 5 tan PQPEPQE
.
∴ 二 面 角 A 1 — AG — E 的 平 面 角 是 .
(12 分)
例 5.(2000。全国。理科题)如图,已知平行六面体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C 1 CD=∠BCD=60°。
()证明:C 1 C⊥BD; ()假定 CD=2,C 1 C=1.5,记面 C 1 BD 为α,面 BCD 为β,求二面角 5 arctan5 arctan A B D C A 1 B 1 D 1 C 1