函数值域求法小结
一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数)
1、求 2 42 x y 的值域。
由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得: , 2 , , 0 2 4 ) (2y x x g 所以
2、求函数11 1yx 的值域。
分析:首先由 1 x 0,得 1 x +1 1,然后在求其倒数即得答案。
解:
1 x 0 1 x +1 1, 0<11 1 x 1, 函数的值域为(0,1]. 法 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域)
1、求函数 ) 4 , 0 ( 4 22 x x x y 的值域。
设:
) 0 ) ( ( 4 ) (2 x f x x x f 配方得:
) 4 , 0 ( 4 ) 2 ( ) (2 x x x f 利用二次函数的相关知识得 4 , 0 ) ( x f ,从而得出:
2 , 2 y 。
说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:
0 ) ( x f 。
2、求函数3 42 x xe y 的值域。
解答:此题可以看作是ue y 和 3 42 x x u 两个函数复合而成的函数,对 u 配方可得:1 ) 2 (2 x u ,得到函数 u 的最大值 1 u ,再根据ue y 得到 y 为增函数且 0 y 故函数3 42 x xe y 的值域为:
] , 0 ( e y 。
3、若 , 4 2 y x 0 , 0 y x ,试求 y x lg lg 的最大值。
本题可看成一象限动点 ) , ( y x p 在直线 4 2 y x 上滑动时函数 xy y x lg lg lg 的最大值。利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得:2 ) 1 ( 2 lg[ )] 2 4 ( lg[ lg lg lg ), 2 , 0 ( ), 4 , 0 (2 y y y xy y x y x 而,y=1 时, y x lg lg 取最大值 2 lg 。
三、反函数法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易
反解出自变量的函数类型)
对于存在反函数且易于求得其反函数的函数,可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质,先求出其反函数,进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。
1、求函数12xxy 的值域。
由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出 x,从而便于求出反函数。
12xxy 反解得yyx2即xxy2 故函数的值域为:
) , 2 ( ) 2 , ( y 。(反函数的定义域即是原函数的值域)
2、求函数11xxeey 的值域。
解答:先证明11xxeey 有反函数,为此,设2 1x x 且 R x x 2 1 ,, 0) 1 )( 1 (211112 12 122112 1 x xx xxxxxe ee eeeeey y 。
所以 y 为减函数,存在反函数。可以求得其反函数为:xxy111ln 。此函数的定义域为) 1 , 1 ( x ,故原函数的值域为 ) 1 , 1 ( y 。
四 、判别式法(分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为0 ) ( ) ( ) (2 y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断)
1、求函数3 27 4 222 x xx xy 的值域。
由于本题的分子、分母均为关于 x 的二次形式,因此可以考虑使用判别式法,将原函数变形为:
7 4 2 3 22 2 x x y xy y x 整理得:
0 7 3 ) 2 ( 2 ) 2 (2 y x y x y 当 2 y时,上式可以看成关于 x 的二次方程,该方程的 x 范围应该满足 0 3 2 ) (2 x x x f 即R x 此时方程有实根即△ 0 ,△ ]. 2 ,29[ 0 ) 7 3 )( 2 ( 4 )] 2 ( 22 y y y y
注意:判别式法解出值域后一定要将端点值(本题是29, 2 y y )代回方程检验。
将29, 2 y y 分别代入检验得 2 y 不符合方程,所以 ) 2 ,29[ y 。
2、求函数2 212 x xxy 的值域。
解答:先将此函数化成隐函数的形式得:
0 1 2 ) 1 2 (2 y x y yx ,(1)
这是一个关于 x 的一元二次方程,原函数有定义,等价于此方程有解,即方程(1)的判别式0 ) 1 2 ( 4 ) 1 2 (2 y y y , 解得:2121 y 。
故原函数的值域为:
] , [2121 y 。
五、换元法(通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是无理函数、三角函数(用三角代换)等)
1、求函数 x x y 4 13 3 2 的值域。
由于题中含有 x 4 13 不便于计算,但如果令:
x t 4 13 注意 0 t 从而得:) 0 ( 32134132 2 t ttytx 变形得 ) 0 ( 8 ) 1 ( 22 t t y 即:
] 4 , ( y
注意:在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围,否则将会发生错误。
2、已知 ) , ( y x p 是圆 42 2 y x 上的点,试求 xy y x t 32 2 的值域。
在三角函数章节中我们学过:
1 cos sin2 2 注意到 42 2 y x 可变形为:1 )2( )2(2 2 y x令 , 0 [ , sin2, cos2 y x2p)则 2 sin 6 4 sin 2 cos 2 3 4 t 4 , 0 [ 2 又 p)即 ] 1 , 1 [ 2 sin 故 ] 10 , 2 [ t
3、试求函数 x x x x y cos sin cos sin 的值域。
题中出现 x x sin cos ,而 x x x x x x cos sin 2 1 ) cos (sin , 1 cos sin2 2 2 由此联想到将 x xsin cos 视为一整体,令 ] 2 , 2 [ cos sin x x t 由上面的关系式易得21cos sin cos sin 2 122 tx x x x t 故原函数可变形为:] 2 , 2 [ 1 ) 1 (21, 2 ) 1 ( 2 ]) 2 , 2 [ (212 22 t t y t y ttt y 即
] 221, 1 [ y
六、数形结合法(对于一些能够准确画出函数图像的函数来说,可以先画出其函数图像,然后利用函数图像求其值域)
1、求函数xxycos 2sin 3 的值域。
分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式
1 21 2x xy yk ,将原函数视为定点(2,3)到动点 ) sin , (cos x x 的斜率,又知动点 ) sin , (cos x x 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点(2,3)到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:
]33 2 6,33 2 6[ y
2、求函数 1 3 y x x 的值域。
分析:此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数。
2 4, ( ,1],2, (1,3),2 4, [3, ),x xy xx x 在对应的区间内,画出此函数的图像,如图 1 所示,易得出函数的值域为 ) , 2 [ 。
七、不等式法(能利用几个重要不等式及推论来求得最值。(如:ab b a ab b a 2 , 22 2 ),利用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要 使最终的乘积结果中不含自变量 ,同时,利用此法时应注意取 " " 成立的条件。)
1、当 0 x 时,求函数248 ) (xx x f 的最值,并指出 ) (x f 取最值时 x 的值。
因 为2 244 448 ) (xx xxx x f 可 利 用 不 等 式33 abc c b a 即 :3244 4 3 ) (xx x x f 所以 12 ) ( x f 当且仅当244xx 即 1 x 时取“=”当 1 x 时) (x f 取得最小值 12。
2、双曲线 12222 byax的离心率为1e ,双曲线 12222 axby的离心率为2e ,则2 1e e 的最小值是()。
A 2 2
B4
C2
D 2
根据双曲线的离心率公式易得:bb aab ae e2 2 2 22 1 ,我们知道 xy y x 2 图1y=-2x+4y=2x-4YX4O23 1
所以abb ae e2 22 12 (当且仅当bb aab a2 2 2 2时取“=”)而 ab b a 22 2 故 2 22 1 e e (当且仅当 b a 时取“=”)
2 2 ) (mi n 2 1 e e 所以 。
说明:利用均值不等式解题时一定要注意“一正,二定,三等”三个条件缺一不可。
3、求函数12xxy的值域。
解答:
2 11112 x xxx y ,当且仅当 1 x 时 " " 成立。故函数的值域为) , 2 [ y 。
此法可以灵活运用,对于分母为一次多项式的二次分式,当然可以运用判别式法求得其值域,但是若能变通地运用此法,可以省去判别式法中介二次不等式的过程。
4、求函数12 22 xx xy的值域。
解答:此题可以利用判别式法求解,这里考虑运用基本不等式法求解此题,此时关键是在分子中分解出 )" 1 ( " x 项来,可以一般的运用待定系数法完成这一工作,办法是设:2 2 ) )( 1 (2 x x c b x x , 将上面等式的左边展开,有:
) ( ) 1 (2c b x b x , 故而 2 1 b , 2 c b 。
解得 1 b , 1 c 。
从而原函数1111 ) 1 )( 1 () 1 ( x xx xx y ; ⅰ)当 1 x 时, 0 1 x , 011 x,此时 2 y ,等号成立,当且仅当 0 x 。
ⅱ)当 1 x 时, 0 ) 1 ( x , 011 x,此时有211) 1 (11) 1 (11 ) 1 )( 1 ( xxxxxx xy , 等号成立,当且仅当 2 x 。
综上,原函数的值域为:
) , 2 [ ] 2 , ( y 。
)
八、部分分式法(分离常数法)(分式且分子、分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为 ) (x f k y ( 为 k 常数)的形式)
1、求函数122 x xx xy 的值域。
观察分子、分母中均含有 x x 2项,可利用部分分式法;则有
43)21(1111 11 22222 xx xx xx xx xy 不妨令:) 0 ) ( () (1) ( ,43)21( ) (2 x fx fx g x x f 从而 ,43) (x f
注意:在本题中应排除 0 ) ( x f ,因为 ) (x f 作为分母。所以43, 0 ) (x g 故 1 ,31 y
2、如对于函数2 31xxy ,利用恒等变形,得到:) 2 3 ( 31312 331) 2 3 (31 x xxy , 容易观察得出此函数的值域为 ) , ( ) , (3131 y 。
注意到分时的分子、分母的结构特点,分离出一个常数后,再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。
九、单调性法(利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域)
1、求函数 ) 4 ( log221x x y 的值域。
由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成,故可令:) 0 ) ( ( 4 ) (2 x f x x x f 配方得:
) 4 , 0 ) ( 4 ) 2 ( ) (2( 所以 x f x x f 由复合函数的单调性(同增异减)知:
) , 2 [ y 。
当函数 f 在 ) , ( b a 上单调,譬如 f 在 ) , ( b a 上递增时,自然有函数 f 在 ) , ( b a 上的值域为)) 0 ( ), 0 ( ( b f a f (其中 ) ( lim ) 0 ( ), ( lim ) 0 ( x f b f x f a fb x a x ,当 a x 时, ) (x f 也称其存在,记为 ) 0 ( a f );若 f 在 ) , ( b a 上递减,函数 f 在 ) , ( b a 上的值域为 )) 0 ( ), 0 ( ( a f b f 。在闭区间 ] , [ b a 上也有相应的结论。
2、求函数 x x y 8 6 3 的值域。
此题可以看作 v u y 和 6 3 x u , x v 8 的复合函数,显然函数 6 3 x u为单调递增函数,易验证 x v 8 亦是单调递增函数,故函数 x x y 8 6 3 也是单调递增函数。而此函数的定义域为 ] 8 , 2 [ 。
当 2 x 时, y 取得最小值 10 。当 8 x 时, y 取得最大值 30 。
故而原函数的值域为 ] 30 , 10 [ 。
十、利用导数求函数的值域(若函数 f 在(a、b)内可导,可以利用导数求得 f 在(a、b)内的极值,然后再计算 f 在 a,b 点的极限值。从而求得 f 的值域)
求函数 x x x f 3 ) (3 在 ) 1 , 5 ( 内的值域。
分析:显然 f 在 ) 3 , 5 ( 可导,且 3 3 ) (2 x x f 。由 0 ) ( xf 得 f 的极值点为1 , 1 x x 。
, 2 ) 1 ( f 2 ) 0 1 ( f 。
140 ) 0 5 ( f 。
所以,函数 f 的值域为 ) 140 , 2 ( 。