8 平面 向量
例 1:在四边形 中,已知 , , ,其中,, 是不共线的非零向量,则四边形 的形状是
. 【答案】梯形 【解析】
, 所以 ,即 ,且 , 所以,四边形 是梯形.
例 2:如图,已知 ,若点 满足 , , 则 (
)
A.
B.
C.
D. 【答案】D 【解析】因为 ,所以 , 整理得到 ,所以 , , ,故选 D.
例 3:已知向量 , ,若 ,则
. ABCD 2 AB a b 4 BC a b 5 3 CD a ba b ABCD2 4 5 3 8 2 2( 4 ) AD AB BC CD a b a b a b a b a b2 AD BC AD BC ∥ 2 AD BC ABCDOAB △ C2 AC CB , OC OA OB R1 1 132329922 AC CB 2 OC OA OB OC 1 23 3OC OA OB 13 23 1 1 92 (2,sin ) a (cos , 1) b a b sin( )cos( )4 4π π 1、平面向量的线性运算 2、平面向量基本定理的应用 3、平面向量与其它知识点结合
【答案】
【解析】向量 , , 若 ,则 ,故 , 故
.
一、选择题 1. 中所在的平面上的点 满足 ,则 (
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】∵ ,∴ ,∴ . 2.在 中,已知 是 延长线上一点,若 ,点 为线段 的中点,,则 的值为(
)
310(2,sin ) a (cos , 1) b a b 2cos sin 0 a b tan 2 2 22 21 1 1 cos sinsin( )cos( ) sin(2 ) cos24 4 2 2 2 2 cos siπnπ π 221 1 tan 1 1 4 32 1 tan 2 1 4 10 ABC △ D 2 BD DC = AD =3 14 4AD AB AC = +1 34 4AD AB AC = +2 13 3AD AB AC 1 23 3AD AB AC 2 BD DC 2( ) AD AB AC AD 1 23 3AD AB AC ABC △ D BC 3 BC CD E AD23AE AB AC
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】由题意可得 , 注意到 ,故 , ∴ . 3.已知菱形 的边长为 , 为 的中点, ,则 的值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】菱形 的边长为 , ,∴ , ∵ 为 的中点,∴ , , ∴ . 4.在平行四边形 中, , , , 为 的中点,则(
)(用 , 表示)
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】∵在平行四边形 中, , , , 为 的中点, ∴
. 131316161 1 1 1 4( )2 2 2 2 3AE AD AB BD AB BC BC AC AB 1 2 1 2( )2 3 6 3AE AB AC AB AB AC 16 ABCD 2 E AB 120 ABC DE AC 4 3 3 3 ABCD 2 120 ABC 2 AB BD AD E AB12DE DA AB AC AD AB 2 2 1 1 14 2 2 2 cos60 32 2 2DE AC AD AB AB AD ABCD AB a AD b 3 AN NC M BC MN a b1 14 4 a b1 13 6 a b1 13 6 a b1 14 4 a bABCD AB a AD b 3 AN NC M BC1 1 1 1 1 1 12 4 2 4 4 4 4MN MC CN AD CA AD CD DA AD AB 1 14 4 b a
5.如图所示,点 , , 是圆 上的三点,线段 与线段 交于圈内一点 , 若 , ,则 (
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】由 ,且 与 共线, ∴存在实数 ,使 , ∵ ,∴ , 即 ,解得 ,故选 C. 6.如图,在平行四边形 中, 分别为 上的点,且 ,,连接 交于 点,若 ,则 的值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】∵ , , ∴ , A B C O OC AB P3 OC mOA mOB AP AB 56453425AP OP OA OP OC ( 3 ) OP OC mOA mOB AP AB ( 3 ) ( ) mOA mOB OA OB OA 13mm 34 ABCD , M N , AB AD45AM AB 23AN AD , AC MN P AP AC 353741141345AM AB 23AN AD 5 3 5 34 2 4 2( ) AP AC AB AD AM AN AM AN
∵三点 共线,∴ ,∴ . 7.已知 是锐角,向量 , ,满足 ,则 为(
)
A.
B.
C.
D. 【答案】D 【解析】由 ,可得 ,则 ,即 , 又 是锐角,∴ . 8.直线 与双曲线 的渐近线交于 , 两点,设 为双曲线 上任意一点,若 为坐标原点 ,则下列不等式恒成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】由题意, , . 设 ,则∵ ,∴ , . ∵ 为双曲线 上的任意一点,∴ , ∴ ,∴ ,∴ .
二、填空题 9.在矩形 中, , ,则
. 【答案】
, , M N P5 314 2 411 1(sin , )2 a (1,cos ) b | || | | | a b a b π12π3π6π4| || | | | a b a b ∥ a b1sin cos2 sin2 1 π4 2 x 22: 14xC y A B P C( , , OP aOA bOB a b O R )2 22 a b 2 212a b 2 22 a b 2 212a b (2,1) A (2, 1) B ( , ) P x y OP aOA bOB 2 2 x a b y a b P C22(2 2 )( ) 14a ba b 4 1 ab14ab 2 2122a b ab ABCD | | 2 AB | | 4 BC | | CB CA DC 4 5
【解析】在矩形 中, ,. 10.设 为 所在平面内一点, ,若 ,则
. 【答案】
【解析】如图所示,由 可知, 、 、 三点在同一直线上,如图:
根据题意及图形, 可得 . ∵ ,∴ ,解得 , 则 .
三、解答题 11.如图 中, 为 的中点, , , .
(1)求边 的长; (2)点 在边 上,若 是 的角平分线,求 的面积. ABCD 2 CB CA DC CA 2 2| | 2| | 2 2 4 4 5 CB CA DC CA D ABC △ 4 BC CD 2 4AD AB AC 924 BC CD B C D1 1 1 5( )4 4 4 4AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC 2 4AD AB AC 12 454 4 125 92 ABC △ D BC 2 13 AB 4 AC 3 ADBCE AB CE BCA BCE △
【答案】(1)
10 ;(2)
. 【解析】(1)∵ 为 中点,∴ , , 解得 , 又∵ ,∴ . (2)由(1)可知 , , ,∴ 为直角三角形, 所以 , ,
因为 是 的角平分线,所以 , 所以 ,所以 . 12.已知向量 , 满足 , ,函数. (1)求 的单调区间; (2)已知数列 ,求 的前 项和为 . 【答案】(1)见解析;(2)
. 【解析】(1)函数 , 由 ,可得 , , 607D BC2 AB AC AD 22( ) 4 AB AC AD 16 AB AC BC AC AB 2( ) 10 BC AC AB 5 DC 3 AD 4 AC ADC △14 3 62ADCS △2 12ABC ADCS S △ △CE BCA 1sin4 22110 5sin2ACEBCEAC CE ACES ACS BCBC CE BCE △△2 7125 5ABC BCE ACE BCE BCE BCES S S S S S △ △ △ △ △ △607BCES △a bπ( 2sin , 6sin( ))4x x aπ(cos , 2cos( ))4x x b( ) ( ) f x x R a b( ) f x2π 11π( )( *)2 24nna n f n N{ }na 2n2nS22 2 2 n n 2π( ) sin2 3cos2 2sin(2 )3f x x x x a bπ π π2 π 2 2 π2 3 2k x k 7π ππ π12 12k x k kZ
解得 的单调增区间为 , ; 同理可解得单调减区间为 , . (2)
, 所以 , 又 , , 所以 . 13 . 直 线 与 椭 圆 交 于 , 两 点 , 已 知, ,若椭圆的离心率 ,又经过点 , 为坐标原点. (1)求椭圆的方程; (2)当 时,试问:
的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 【答案】(1)
;(2)
的面积是定值,定值为 1 ,证明见解析. 【解析】(1)∵ ,∴ , , ∴椭圆的方程为 . (2)①当直线 斜率不存在时,即 , , ( ) f x7π π[ π , π ]12 12k k kZπ 5π[ π , π ]12 12k k kZ2 2 2 1 2π 11π π( ) 2 sin( π ) 2 cos π ( 1) 22 24 4nnna n f n n n n n 2 2 2 2 2 222[1 2 3 4 (2 1) (2 )]nS n n 2 2(2 1) (2 ) 4 1 n n n 22[( 3) ( 7) ( 11) ( 4 1)]nS n 22( 3 4 1)2 2 2 22nn nS n n l2 22 21( 0)y xa ba b 1 1( , ) A x y2 2( , ) B x y1 1( , ) ax by m2 2( , ) ax by n32e 3( ,1)2O m n AOB △2214yx AOB △2 22 2321 314c a bea aa b 2 a 1 b2214yx AB1 2x x 1 2y y
由已知 ,得 , 又 在椭圆上,所以 , , ,三角形的面积为定值; ②当直线 斜率存在时:设 的方程为 , , 必须 ,即 ,得到 , , ∵ ,∴ , 代入整理得 , , 所以三角形的面积为定值.
0 m n2 2 2 21 1 1 14 0 4 x y y x 1 1( , ) A x y2211 14 21 | |4 2xx x 1| | 2 y 1 1 2 1 11 1| || | | |2| | 12 2S x y y x y AB AB y kx t 2 2 222( 4) 2 4 014y kx tk x ktx tyx 0 Δ2 2 2 24 4( 4)( 4) 0 k t k t 1 2224ktx xk 21 2244tx xk m n1 2 1 2 1 2 1 24 0 4 ( )( ) 0 x x y y x x kx t kx t 2 22 4 t k 2 2 221 2 1 2221 | | 1 | | 4 4 16 4| | | | ( ) 4 12 2 4 2| |1t t k t tS AB t x x x xk tk