考点 32
基本不等式及其应用 [玩前必备] 1．重要不等式：a 2 ＋b 2 ≥2ab(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 2．基本不等式：
ab≤ a＋b2( a≥0，b≥0)，当且仅当 a＝b 时取等号． 其中 a＋b2称为 a，b 的算术平均数， ab称为 a，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 3.基本不等式的几个常见变形 (1) a＋b≥2 ab (a，b＞0)． (2) x＋ 1x ≥2(x＞0)，ba ＋ab ≥2(a，b 同号)． (3)ab≤ a＋b22
(a，b∈R)． (4) a2 ＋b 22≥ a＋b22
(a，b∈R)． 4.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等 所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件． 5.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则 (1)和定积最大：若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值 s24 ； (2)积定和最小：若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2 p. [玩转典例] 题型一
基本不等式成立条件问题 例 例 1 若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(
) A．a 2 ＋b 2 >2ab
B．a＋b≥2 ab
C. 1a ＋1b ≥2ab
D.ba ＋ab ≥2 [玩转跟踪]
1．下列不等式中一定成立的是 (
) A．x＋ 1x ≥2
B．ba ＋ab ≥2
C. sin x＋1sin x ≥2(x≠kπ，k∈Z)
D. x＋1x ≥2(x>0) 2.下列不等式：①a 2 ＋1>2a；② a＋bab≤2；③x 2 ＋1x 2 ＋1 ≥1，其中正确的个数是(
) A．0
B．1
C．2
D．3
题型二 二
利用基本不等式求最值 例 例 2 2 (1) 若 x>0，则 x＋ 2x 的最小值是(
) A．2
B．4
C. 2
D．2 2 (2) 当 x>1 时，函数 y＝x＋1x－1 的最小值是________． 例 例 3 设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大值
[玩转跟踪]
1.(1)当 x>1 时，x＋4x－1 的最小值为________； (2)当 x≥4 时，x＋4x－1 的最小值为________． 2. 已知 f(x)＝x＋ 1x －2(x<0)，则 f(x)有(
) A. 最大值为 0
B. 最小值为 0
C. 最大值为－4
D. 最小值为－4 3.已知函数 f(x)＝4x＋ ax (x>0，a>0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝______. 4.若 0<x< 32 ，则 y＝x(3－2x)的最大值是(
) A. 916
B. 94
C．2
D. 98
题型三 三
利用 1 1 的代换求值
例 例 4
已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，则 1a ＋1b 的最小值为________． [玩转跟踪] 1.已知 x>0，y>0 且 x＋y＝1，则 8x ＋2y 的最小值为________． 2．已知 a>0，b>0，a＋b＝2，则 y＝ 1a ＋4b 的最小值是(
) A. 72
B．4
C. 92
D．5 [玩转练习] 1．若 0＜x＜1，则当 f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x 的值为(
) A. 13
B. 12
C. 34
D. 23
2．若 x＞ 54 ，则 f(x)＝4x＋14x－5 的最小值为(
)
A．－3
B．2
C．5
D．7 3．已知 a，b 为正实数且 ab＝1，若不等式(x＋y)( ax ＋by )>m 对任意正实数 x，y 恒成立，则实数 m 的取值范围是(
) A. [4，＋∞)
B. (－∞，1]
C. (－∞，4]
D. (－∞，4) 4．(2015 湖南)若实数 a，b 满足 1a ＋2b ＝ ab，则 ab 的最小值为(
) A. 2
B．2
C．2 2
D．4 5．已知函数 f(x)＝4x＋ ax (x>0，a>0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝________. 6． (上海卷)若实数 x，y 满足 xy＝1，则 x 2 ＋2y 2 的最小值为________． 7．已知 x>0，y>0，且 3x＋4y＝12，则 xy 的最大值为______． 8. （2019 天津理 13）设 ，则 的最小值为
. 9.(2018 天津)已知 , a bR ，且 3 6 0 a b ，则128ab 的最小值为
． 10.(2020·泉州检测)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的值为(
) A. 13
B. 12
C. 34
D. 23
11.(多选)下列四个函数中，最小值为 2 的是(
) A．y＝sin x＋1sin x 0<x≤ π2 B．y＝ln x＋1ln x () x>0，x≠1 C．y＝x 2 ＋6x 2 ＋5
D．y＝4 x ＋4－ x
12.已知 f(x)＝ x2 －2x＋1x，则 f(x)在 12 ，3 上的最小值为________． 13.(一题两空)(2019·湖南岳阳期末改编)若 a>0，b>0，且 a＋2b－4＝0，则 ab 的最大值为________， 1a ＋2b 的最小值为________． 14.(1)当 x< 32 时，求函数 y＝x＋82x－3 的最大值； (2)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大值． 0, 0, 2 5 x y x y ( 1)(2 1) x yxy