考点 37
立体几何大题特训 1. 【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】如图,直四棱柱 ABCD – A 1 B 1 C 1 D 1 的底面是菱形,AA 1 =4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N 分别是 BC,BB 1,A1 D的中点.
(1)证明:MN∥平面 C 1 DE; (2)求二面角 A − MA 1 − N 的正弦值.
2.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】如图,长方体 ABCD–A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 ABCD 是正方形,点 E 在棱 AA 1上,BE⊥EC 1.
(1)证明:BE⊥平面 EB 1 C 1; (2)若 AE=A 1 E,求二面角 B–EC–C 1 的正弦值.
3.【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】图 1 是由矩形 ADEB,Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿 AB,BC折起使得 BE 与 BF 重合,连结 DG,如图 2. (1)证明:图 2 中的 A,C,G,D四点共面,且平面 ABC⊥平面 BCGE; (2)求图 2中的二面角 B − CG − A 的大小.
4.【2019 年高考北京卷理数】如图,在四棱锥 P–ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为 PD的中点,点 F 在 PC上,且13PFPC. (1)求证:CD⊥平面 PAD; (2)求二面角 F – AE – P 的余弦值; (3)设点 G在 PB 上,且23PGPB .判断直线 AG是否在平面 AEF 内,说明理由.
5.【2019 年高考天津卷理数】如图, AE 平面 ABCD , , CF AE AD BC ∥ ∥ ,, 1, 2 AD AB AB AD AE BC . (1)求证:
BF∥ 平面 ADE ; (2)求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值; (3)若二面角 E BD F 的余弦值为13,求线段 CF 的长.
6.【2019 年高考江苏卷】如图,在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,D,E 分别为 BC,AC的中点,AB=BC. 求证:(1)A 1 B 1 ∥平面 DEC 1 ; (2)BE⊥C 1 E.
7.【2019 年高考浙江卷】(本小题满分 15 分)如图,已知三棱柱1 1 1ABC ABC ,平面1 1A ACC 平面 ABC ,90 ABC ,1 130 , , , BAC A A AC AC E F 分别是 AC,A 1 B 1 的中点. (1)证明:
EFBC ; (2)求直线 EF 与平面 A 1 BC 所成角的余弦值.
8.【2020 北京市通州区三模数学试题】如图,在四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D 中,侧棱1A A ABCD 底面 ,AB AC ,1 AB,12, 5 AC AA AD CD = = = =,点 E 为线段1AA 上的点,且12AE .
(1)求证:
BE 平面1ACB; (2)求二面角1 1D AC B 的余弦值; (3)判断棱1 1AB 上是否存在点 F ,使得直线 DF∥ 平面1ACB ,若存在,求线段1AF 的长;若不存在,说明理由.
9. 【山东省济南市 2020 一模】如图 1,在高为 6 的等腰梯形 ABCD 中, // AB CD ,且 6 CD , 12 AB ,将它沿对称轴1OO 折起,使平面1ADOO 平面1BCOO .如图 2,点 P 为 BC 中点,点 E 在线段 AB 上(不同于 A , B 两点),连接 OE 并延长至点 Q ,使 / / AQ OB .
(1)证明:
OD 平面 PAQ ; (2)若 2 BE AE ,求二面角 C BQ A 的余弦值.
10.(2020•北京卷)如图,在正方体1 1 1 1ABCD ABC D 中,E 为1BB 的中点.
(Ⅰ)求证:1 / /BC 平面1AD E ; (Ⅱ)求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值.
11. (2020•全国 1 卷)如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, AE 为底面直径, AE AD . ABC是底面的内接正三角形, P 为 DO 上一点,66PO DO .
(1)证明:
PA 平面 PBC ; (2)求二面角 B PC E 的余弦值.
12. (2020•全国 3 卷)如图,在长方体1 1 1 1ABCD ABC D 中,点 , E F 分别在棱1 1, DD BB 上,且12DE ED ,12 BF FB .
(1)证明:点1C 在平面 AEF 内; (2)若 2 AB , 1 AD ,13 AA ,求二面角1A EF A 的正弦值.
13.(2020•新全国 1 山东)如图,四棱锥 P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面 ABCD.设平面 PAD与平面PBC 的交线为 l.
(1)证明:l⊥平面 PDC; (2)已知 PD=AD=1,Q为 l 上的点,求 PB 与平面 QCD所成角的正弦值的最大值.
14.(2020•浙江卷)如图,三棱台 DEF—ABC 中,面 ADFC⊥面 ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC =2BC.
(I)证明:EF⊥DB; (II)求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值.