第七讲
平面向量的应用 [玩转典例] 题型一 一
与向量的模有关的问题 例 例 1
(1)已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ 10，则|b|＝________. (2)已知|a|＝2，|b|＝4，a，b 的夹角为 π3 ，以 a，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．
例 例 2
若向量 a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________． [题型练透] 1.已知向量 a、b 满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.
2.设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a⊥b，则|a＋b|＝(
) A. 5
B. 10 C．2 5
D．10 题型二 二
两个向量的夹角问题 例 例 3 3 已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________． 例 例 4 4 已知平面向量 a＝(3,4)，b＝(9，x)，c ＝ (4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
[题型练透]
1.已知 a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)，则 a 与 b 的夹角为________． 2.若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且 c⊥a，则向量 a 与 b 的夹角为________． 题型三 三
两个向量的垂直问题 例 例 5 5 已知|a|＝3，|b|＝2，向量 a，b 的夹角为 60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当 m 为何值时，c 与 d 垂直？
例 例 6 6 已知向量 OA ＝(3，－4)， OB ＝(6，－3)， OC ＝(5－m，－(3＋m))．若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数 m 的值．
[题型练透]
1. 已知向量 OA ＝(－1,2)， OB ＝(3，m)，若 OA ⊥ AB ，则 m 的值是(
) A. 32
B．－ 32
C．4
D．－4 2.已知非零向量 a，b，满足 a⊥b，且 a＋2b 与 a－2b 的夹角为 120°，则 |a||b| ＝________. 题型四 四
平面几何中向量的方法
【例7】
（1）
（2020·澧县第一中学单元测试）点 P 是△ ABC 所在平面上一点，满足 PB PC 2 PB PC PA =0，则△ ABC 的形状是（
）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 （2）．（2020·江西）如图，设 P、Q 为△ABC 内的两点，且2 15 5AP AB AC ，2 13 4AQ AB AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为
．
【题型练透】
1．（2020·宁夏高三月考）已知正方形 ABCD 的边长为 2 ， M 为平面 ABCD 内一点，则( ) ( ) MA MB MC MD
的最小值为(
) A． 4
B． 3
C． 2
D． 1
2．设 O 是 ABC △ 内部一点，且2 OA OC OB ，则 AOB 与 AOC △ 的面积之比为________________. 3．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二期末）如图，已知△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，∠ B ＝30°，点 P 在线段BC 上运动，且满足 CPCB ，当 PA PC取到最小值时， 的值为_________ .
题型五 五
向量在物理中的应用 【例 8】（1）如图，在重 600N 的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为 30 60 ， ，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（
）
A． 300 3N 300 3N ，
B． 150N 150N ，
C． 300 3N 300N ，
D． 300N 300N ，
(2)河中水流自西向东每小时 10 km，小船自南岸 A 点出发，想要沿直线驶向正北岸的 B 点，并使它的实际速度达到每小时 103
km，该小船行驶的方向和静水速度分别为(
) A.西偏北 30°，速度为 20 km/h B.北偏西 30°，速度为 20 km/h C.西偏北 30°，速度为 203
km/h D.北偏西 30°，速度为 203
km/h 【题型练透】
1．已知两个力1 2F F ， 的夹角为 90°，它们的合力大小为 10 N，合力与1F 的夹角为 60°，那么2F 的大小为（
）
A. 5 3
N B.5 N C.10 N D. 5 2
N 2．（2020·陕西西安一中高二月考）一艘船以 4 km/h 的速度与水流方向成 120°的方向航行，已知河水流速为 2 km/h，则经过3 h，则船实际航程为(
) A.215
km B.6 km C.221
km D.8 km [玩转练习] 1．已知|a|＝9，|b|＝6 2，a·b＝－54，则 a 与 b 的夹角 θ 为(
) A．45°
B．135°
C．120°
D．150°
2．|a|＝2，|b|＝4，向量 a 与向量 b 的夹角为 120°，则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于(
) A．－3
B．－2
C．2
D．－1 3．已知 a ⊥ b，|a|＝2，|b|＝3，且 3a＋2b 与 λa－b 垂直，则 λ 等于(
) A. 32
B．－32
C．±32
D．1 4．已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于(
) A．0
B．2 2
C．4
D．8 5．如图所示，一力作用在小车上，其中力 F 的大小为 10 N ，方向与水平面成 60 角.当小车向前运动 10 m 时，则力 F 做的功为(
)
A.100 J
B.50 J C. 50 3J
D.200 J 6．四边形 ABCD 中， AC BD 且 2 3 AC BD ， ，则 AB CD的最小值为_______. 7．（2019·江苏高三开学考试（理））在锐角 ABC 中， tan 2 A ，点 D 在边 BC 上，且 ABD 与 ACD 面积分别为 2 和 4，过 D 作 DE AB 于 E ， DF AC 于 F ，则 DE DF的值是______. 8．（2019·河南省实验中学高一期中）已知向量 (2,0) a ， (1,4) b .若向量 kab 与2 a b 的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围为______． 9．已知平面向量 a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若 c＝a－(a·b)b，则|c|＝________. 10．设 a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若 a 与 b 的夹角 θ 为钝角，则 x 的取值范围是________． 11．已知 a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求 a 与 b 的夹角的余弦； (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数 λ 的值．
12.在△ABC 中，AB→ ＝(2,3)，AC → ＝(1，k)，若△ABC 是直角三角形，求 k 的值．