1 第 7 节 综合法求空间角与距离 课程标准：1.运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间概念；2.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义等。
【知识梳理】
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范围 1.异面直线所成角
2.直线与平面所成角 (1)
(2)
(3)
3.二面角的平面角
2 4.点到面的距离
5.直线到平面的距离
6.两个平行平面间的距离
[微点提醒] 1. 两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角； 2. 当两异面直线所成的角为 90 时，可以通过证明线面垂直达到求异面直线所成角的目标； 3. 点到面的距离的求法：（1）直接作出距离并计算；（2）转化求解（利用等积法、利用比例、利用线面平行关系换点）； 4. 作二面角的平面角的常用方法：（1）定义法（2）“三垂线”法.
基础自测
疑误辨析 1. 判断下列结论的正误（在括弧内打“√”或“×”）
（1）不在同一平面内的两直线叫异面直线（
）
（2）二面角 l - 的大小为 ， b a , ，且 a 与 b 所成角为 ，则 （
）
（3）线面角是直线与平面内所有直线所成角的最小角（
）
（4）正方体 12 条棱中有 48 对异面直线（
）
教材衍化
3 2. （必修 2 P148 人教 A3 改编）如图在长方体" " " "D C B A ABCD 中，2 , 3 2" AA AD AB ,则直线"CD 和" " CA 所成角的余弦值为（
）
A. 33
B. 43
C.46
D.36
3. (必修 2 P152 人教 A 例 4）如图在正方体" " " "D C B A ABCD 中，则直线 B A " 和" " DCBA 所成角为（
）
A. 30
B. 60
C. 45
D. 90
考题体验 4. （2010 全国Ⅰ卷）正方体 ABCD -1 1 1 1ABC D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（
）
A. 23
B.33
C. 23
D. 63
5. 已知四棱锥 ABCD O 的侧棱长都为 4，底面 ABCD 为矩形，且6, 2 3 AB BC ,则四棱锥 O ABCD 的体积为
.
【考点聚焦突破】
考点一
空间位置关系背景下的角与距离的计算
A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O
4 角度 1
利用定义构造几何图形
【例 1-1】已知二面角 l - 中， l AD l BC A B l D l C , , , , ,
（1）若 2 , 1 AB BC DC AD ,求二面角 l - 的大小； （2）若二面角 l - 为 60 ， , 1 BC DC AD 求异面直线 AB 与 CD 所成角及线段 AB 长； （3）在（2）的条件下，求直线 AB 与平面 所成角的正弦值。
角度 2
利用三垂线法构造直角三角形与其它知识融合
【例 1-2】（2019，全国，文.(16)改编）．已知 60 ACB ， P 为平面ABC 外一点， 2 PC ， 45 ACP , 60 BCP ，那么 P 到平面ABC 的距离为___________．
【规律方法】
1.利用定义作出相应的角度与距离，并进行证明； 2.求点到面的距离常利用面面垂直的性质定理来构造线面垂直,利用直角三角形求解。
3.本例是一个典型的立体几何模型。
5 【训练 1】
（1 2011 大纲卷.理科.(6))已知直二面角 l ，点 , A AC l ,C 为垂足，, , B BD l D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于（
）
. A23
. B33
. C63
. D
1
考点二
简单几何体中的角与距离的计算
角度 1
给定几何体求角度与距离
【例 2-1】（2014.大纲（19）改编. ）如图，三棱柱1 1 1ABC ABC 中，点1A 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上，090 ACB ，11, 2 BC AC CC . （1）证明：1 1AC AB ； （2）设直线1AA 与平面1 1BCC B 的距离为 3 ，求二面角1A AB C 的正切值； （3）在（2）的条件下求直线1CC 到平面1 1 ABBA 的距离。
规律方法 1.证明异面直线垂直常需结合几何体可以转化为证明线面垂直； 2.点到面的距离常通过先得到面面垂直，再利用面面垂直的性质定理作出距离或者利用“等积法”的思想转化求解； D DB B 1 1C CC C 1 1A A 1 1A AB B
6 3.二面角的作法中常利用“定义法”与“三垂线定理”完成找角。
【训练 2】（新教材人教版必修 2 P171A 14 改编）如图，在四棱锥 ABCD P 中，底面 ABCD为正方形， 侧面 PAD 是正三角形，侧面 PAD 底面 ABCD , M 是 PD 中点。
（1）求证：
PC AM ; （2）求侧面 PBC 与底面 ABCD 所成角的余弦值。
角度 2 给定几何体中的角度或距离求新的角度或距离 【例 2-2】（2017 新课标Ⅱ理,改编）
如图，四棱锥 ABCD P 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o1=1, 90 ,2AB BC AD BAD ABC
（1）求点 C 到平面 ABP 的距离； （2）点 M 在棱 PC
上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为o45 ，求二面角 M AB D 的余弦值．
7
规律方法：
1.利用平面化的思路将求角与距离问题转化为直角三角形问题； 2.点到面的距离常通过面面垂直直接作出距离再计算或利用平行线或比例关系转化求解。
【训练 3】在棱长为 2 的正四面体 ABC D 中， E 为线段 BD 上一点，且 AE 与 CD 所成角的余弦值为63. （1）求 BE 的长； （2）求 AE 与平面 ABC 所成角 的正弦值。
考点 三
空间想象力
【例 3-1】（2010 江西理数（10））过正方体1 1 1 1ABCD ABC D 的顶点 A 作直线 l ，使 l 与棱AB , AD ,1AA 所成的角都相等，这样的直线 l 可以作 A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条
【例 3-2】（2019 全国Ⅱ卷）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方
8 体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空 2 分，第二空 3 分.）
规律方法：
借助几何体的特征展开充分的想象，利用分类的思想和平面化的思想将空间问题平面化。
【训练 4】在正方体 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 M 、 N 分别是直线 CD、AB 上的动点，点 P 是△A 1 C 1 D内的动点(不包括边界)，记直线 D 1 P 与 MN 所成角为θ，若θ的最小值为 π3，则点 P 的轨迹是(
) A.圆的一部分
B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分
D.双曲线的一部分
反思与感悟
9
【思维升华】
1.求角度问题的三个步骤 作角：利用相应角的定义合理的作出“角”。
证明：利用定义、定理证明所作出的的“角”为所求角. 计算：利用平面化的思想求解长度计算角度. 2.距离的求解方法主要有：利用面面垂直作出距离利用平行线的关系转化点到面的距离使问题易于解决利用比例线段的思想转化求解距离. 3.常见几何体中的角度与距离问题与面面垂直这一核心知识点有关，由“面面垂直” “线面垂直”，从而作出相应的角度与距离.在遇到困难时再考虑转化求解.
【易错防范】
1. 在求角度问题时要先作、再证、再求，防止只作不证. 2. 作“角”时，要根据具体的几何图形条件合理作角，防止“易作难算”的情况出现。