备战 2021 新高考数学命题分析与探究 命题 13
三角函数的图像与性质 第一部分
命题点展示与分析 点 命题点 1 命题方向 命题难度 三角函数中的值域及最值问题 正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 容易 利用换元法解决最值问题 容易 利用化一法解决最值问题 一般 利用正、余弦函数的有界性解决三角函数的最值问题 一般 与值域有关的参数问题 困难 命题方向一正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题
命题方向二利用换元法解决最值问题
命题方向三利用化一法解决最值问题 4.【2020 年高考北京卷 14】若函数 的最大值为 ,则常数 的一个取值为
. 【答案】
【解析】∵
, 则 , ,∴ ,∴ . 命题方向四利用正、余弦函数的有界性解决三角函数的最值问题
命题方向五与值域有关的参数问题
点 命题点 2 命题方向 命题难度 三角函数的周期性、对称性、奇偶性 一般 命题方向六三角函数的周期性、对称性、奇偶性 7.【2020 年高考全国Ⅲ卷文数 12】已知函数 ,则 (
)
A. 的最小值为
B. 的图像关于 轴对称 C. 的图像关于直线对称
D. 的图像关于直线 对称 【答案】D 【解析】
可以为负,所以 A 错;关于原点对称;
故 B 错; 关于直线 对称,故 C 错,D 对,故选:D.
点 命题点 3 命题方向 命题难度 三角函数的单调性 已知函数解析式求函数的单调区间 容易 已知函数的单调区间求参数 困难 命题方向七已知函数解析式求函数的单调区间
命题方向八已知函数的单调区间求参数
第二部分
命题点素材与精选 1.函数 cos f xx 在 0, 上为增函数,则 的值可以是(
)
A.0 B.2 C.
D.32
【答案】C 【解析】对 A, cos f x x ,由余弦函数的性质可知 f x 在 0, 上为减函数,舍去; 对 B, cos2=-sin f x x x ,在 0, 上先减后增,舍去 对 C, cos cos f x x x ,由余弦函数的性质可知 f x 在 0, 上为增函数.成立; 对 D, =sin3cos2f x x x ,在 0, 上先增后减,舍去 故选:C. 2.关于函数2tan(2 )3y x ,下列说法正确的是(
)
A.是奇函数 B.在区间7( , )12 12 上单调递增 C. ( ,0)12 为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为
【答案】C 【解析】22 ( )12 3 2 ,所以 ( ,0)12 是函数2tan(2 )3y x 图象的一个对称中心,故选 C. 3.函数 xf x 2 sinx 在区间 10π,10π 上的零点的个数是 (
)
A.10 B.20 C.30 D.40 【答案】A 【解析】画出图象函数xy 2 和 y sinx 的图象,根据图象可得函数 xf x 2 sinx 在区间 10π,10π 上的零点的个数是 10, 故选 A.
4.函数 ( ) tan ( 11) f x x x x 剟 的图象可能是(
)
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】由 ( ) tan ( 1 1) f x x x x 剟 ,则 ( ) tan tan f x x x x x
所以 ( ) f x f x ,即函数( ) f x 是偶函数 故排除 A,C, 当 0 1 x 时, ( ) 0 f x ,排除 D. 故选:B 5.关于函数 2sin sin f x x x 有下述四个结论:
① f x 是偶函数; ② f x 在区间 ,06 上单调递增; ③ f x 在 [ , ] 有四个零点; ④ f x 的值域是1,04 . 其中所有正确结论的编号是(
)
A.①② B.②③ C.①③④ D.①②④ 【答案】A 【解析】①中,函数 y f x 的定义域为 R ,且 22 2sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x ,所以,函数 y f x 是偶函数,①正确;
②当 0,6x 时,10 sin2x , 221 1sin sin sin2 4f x x x x , 令 sin t x ,由于外层函数21 12 4y t 在10,2t 上单调递减, 内层函数 sin t x 在 0,6x 上单调递增, 所以,函数 y f x 在区间 0,6 上单调递减,故函数 y f x 在区间 ,06 上单调递增,②正确; ③当 0, x 时,由 2sin sin 0 f x x x ,得 sin 0 x 或 sin 1 x , 所以, 0 x 或2x 或 x ,所以偶函数 y f x 在 , 有五个零点,③不正确; ④当 0, x , 221 1sin sin sin2 4f x x x x , 因为 1 sin 1 x ,所以当1sin2x 时, min14f x , 当 sin 1 x 时, max1 1 2 f x , 由于函数 y f x 是偶函数,因此,函数 y f x 的值域为1,24 ,④不正确. 故选:A. 6.若函数 2cos2 sin 02g x x x 的图象过点 , 22 ,则结论成立的是(
)
A.点 , 14 是 y g x 的一个对称中心 B.直线4x 是 y g x 的一条对称轴 C.函数 y g x 的最小正周期是 2
D.函数 y g x 的值域是 22 ,
【答案】A 【解析】由函数 2cos 2 sin 02g x x x 的图象过点 , 22 ,
可得 2sin2 2 ,即 sin2 1 ,∵ 0 2 ,∴ 22 ,∴4 , 故 22cos 2 sin 2sin cos2 1 g x x x x x , 当4x 时, 1 g x ,故 A 正确、B 不正确; g x 的最小正周期为22 ,故 C 不正确; 显然, cos2 1 2,0 g x x ,故 D不正确, 故选:A. 7.函数 ( )sin6f x x 的图向右平移4个单位后,得到函数 ( ) g x 的图象(
)
A.若 ( ) g x 为偶函数,则 的最小正值是23 B.若 ( ) g x 为偶函数,则 的最小正值是83 C.若 ( ) g x 为奇函数,则 的最小正值是83 D.若 ( ) g x 为奇函数,则 的最小正值是143 【答案】B 【解析】由题知:
( ) sin sin4 6 6 4 g x x x . 若 ( ) g x 为偶函数,则6 4 2 k , k Z , 解得443 k , k Z .当 1 k 时, 的最小正值是83. 若 ( ) g x 为奇函数,则6 4 k , k Z , 解得243 k , k Z .当 0 k 时, 的最小正值是23. 故选:B 8.函数 tan(2 )6y x 的一个对称中心是(
)
A. ( ,0)12 B.2( ,0)3 C. ( ,0)6 D. ( ,0)3 【答案】AD
【解析】因为 tan( ) 012 6 6f ;2 4 3tan( ) tan3 3 6 6 3f ; 3tan6 6 3f ;当3x 时, 23 6 2 . 所以 ( ,0)12、 ( ,0)3是函数 tan(2 )6y x 的对称中心. 故选:AD 9.已知函数 ( ) 2sin2 f x x ,则下列结论正确的是(
)
A.( ) f x 的最小正周期为2 B.( ) f x 的最小值为-2 C.直线4x 为函数 ( ) f x 图象的一条对称轴 D.将函激( ) f x 的图象向右平移6个单位,得到函数 2sin(2 )3y x 的图象 【答案】BCD 【解析】由正弦函数的周期公式可知:( ) f x 的最小正周期为22T ,故 A 错误; 由 1 sin2 1 x 剟 可知( ) f x 的最小值为2 ,故 B 正确; 令 22x k 可得4 2kx , k Z ,故直线4x 是 ( ) f x 的图象的一条对称轴,故 C 正确; 将函数( ) f x 的图象向右平移6个单位可得 ( ) 2sin[2( )] 2sin(2 )6 6 3y f x x x ,故 D 正确. 故选:
BCD . 10.已知函数 ( ) 2sin( )(0) f x x ,点 , , A B C 是直线 ( 0) y m m 与函数 ( ) f x 的图象自左至右的某三个相邻交点,若22| | | |3AB BC ,则 m
_____ 【答案】3 【解析】作出示意图如图所示:
由22| | | |3AB BC ,则 | |3AB ,则 | | AC ,故 ( ) f x 的周期2T ,
得 2 ,即 ( ) 2sin(2 ) f x x ,且1 22sin(2 ) 2sin(2 ) x x , 可得1 2(2 ) (2 ) x x ,且2 13x x ,得126x , 则 2sin6m ,得 1 m ,则 3 m . 故答案为:3