1.2
集合间的基本关系 课 标 解 读 课标要求 核心素养 1.理解集合之间包含与相等的含义.(重点、难点) 2.能识别给定集合的子集.(难点) 1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解,培养数学抽象素养. 2.通过子集和真子集的求解,培养数学运算素养.
草原上,蓝蓝的天上白云飘,白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合 A,草原上的所有马组成集合 B. 问题 1:集合 A 中的元素与集合 B 中的元素的关系是怎样的? 答案 集合 A 中的元素都是集合 B 中的元素. 问题 2:集合 A 与集合 B 又存在什么关系?
答案 集合 A 包含在集合 B 中.
1.Venn 图的优点及其表示 (1)优点:形象直观. (2)表示:通常用平面上①封闭曲线的②内部代表集合.
2.子集、真子集、集合相等的相关概念
思考 1:任意两个集合之间是否有包含关系? 提示 不一定.如集合 A={0,1,2},B={-1,0,1},这两个集合之间就没有包含关系. 特别提醒
符号“∈”与“⊆”的区别:符号“∈”表示元素与集合间的关系,而“⊆”表示集合与集合之间的关系.
3.空集 (1)定义:不含⑧任何元素的集合叫做空集,记为⑨⌀. (2)规定:空集是任何集合的⑩子集.
思考 2:{0}与⌀相等吗? 提示 {0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素 0;而⌀中不含有任何元素,故{0}≠⌀.
4.集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即 A⊆A. (2)对于集合 A,B,C,若 A⊆B,且 B⊆C,则 A⊆C;若 A⫋B,B⫋C,则 A⫋C.
探究一
集合间关系的判断
例 1 判断下列各组中集合之间的关系: (1)A={x|x 是 12 的约数},B={x|x 是 36 的约数}; (2)A={x|x=2k-1,k∈N},B={x|x=2k+1,k∈N},C={x|x=4k+1,k∈N}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x<5}. 解析 (1)若 x 是 12 的约数,则 x 必是 36 的约数,反之不成立,所以 A⫋B. (2)易知集合 A={-1,1,3,5,…}, 集合 B={1,3,5,7,…}, 集合 C={1,5,9,…}. 所以 C⫋B⫋A. (3)易知 A 中的元素都是 B 中的元素,但存在 B 中的元素不属于 A,如-2∈B,但-2∉A,故A⫋B. 思维突破
判断集合间关系的方法 (1)观察法:一一列举观察.
(2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断集合间的关系. (3)数形结合法:利用数轴或 Venn 图. 提醒:若 A⊆B 和 A⫋B 同时成立,则 A⫋B 更能准确表达集合 A,B 之间的关系.
1.下列关系中,正确的个数是(
) ①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}⊆{2,1,0};③⌀⊆{0,1,2};④⌀⫋{0};⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0}. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 对于①,是集合与集合的关系,应为{0}⫋{0,1,2},故①错误; 对于②,实际为同一集合,任何一个集合是它本身的子集,故②正确; 对于③,空集是任何集合的子集,故③正确; 对于④,{0}是含有单元素 0 的集合,空集不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子集,所以⌀⫋{0},故④正确; 对于⑤,{0,1}是含有两个元素 0 与 1 的集合,而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集,所以{0,1}与{(0,1)}不相等,故⑤错误; 对于⑥,0 与{0}是“属于与否”的关系,所以 0∈{0},故⑥错误.故正确的个数为 3.
探究二
求子集、真子集( ( 的个数) )
例 2 (1)集合{a,b,c}的所有子集为
,其中真子集有
个.
(2)写出满足{3,4}⫋P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合 P. 答案 (1)⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c};7 解析 (1)集合{a,b,c}的子集:⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},其中除{a,b,c}外,都是{a,b,c}的真子集,共 7 个. (2)由题意知,集合 P 中一定含有元素 3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所有满足题意的集合P:{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}. 思维突破
1.求集合子集、真子集个数的 3 个步骤
2.与子集、真子集个数有关的 4 个结论 假设集合 A 中含有 n 个元素,则 (1)A 的子集有 2n 个; (2)A 的非空子集有 2n -1 个; (3)A 的真子集有 2n -1 个; (4)A 的非空真子集有 2n -2 个.
2.已知集合 A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出 A 的所有子集. 解析 因为 A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以 A={(0,2),(1,1),(2,0)}. 所以 A 的所有子集:⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}. 探究三
集合间关系的应用
例 3 (易错题)已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B⫋A,求实数 m 的取值范围. 易错辨析:解答本题易出现的失误为漏掉讨论 B=⌀的情况.事实上,当 B⫋A 时,B 可能为空集. 解析 由题意可知,①当 B≠⌀时,如图所示.
∴{