1 13 三视图与体积、表面积
例 1:我国南北朝时期数学家祖暅,提出了著名的祖暅原理:“缘幂势既同,则积不容异也”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高几何体,若在同一等高处的截面积都相等,则两几何体题意相等.已知某不规则与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”,其中俯视图中的圆弧为 圆周,则该不规则几何体的体积为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】根据三视图知,该几何体是三棱锥与 圆锥体的组合体,如图所示:
则该组合体的体积为 , 所以对应不规则几何体的体积为 ,故选 B. 例 2:《九章算术》中,将底面是直角三角形的三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为(
)
14π121 π3 6 1 2π 1 2π3 31421 1 1 1 1 π1 1 2 π 1 23 2 3 4 3 6V 1 π3 61、与三视图有关的几个方面的应用
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱, 底面面积为 ,底面周长为 , 故棱柱的表面积 ,故选 B.
一、选择题 1.已知某几何体三视图如图所示,其中正视图、侧视图均是边长为 的正方形,则该几何体外接球的体积是(
)
A.
B.
C.
D. 【答案】D 【解析】由几何体正视图、侧视图均是边长为 的正方形, 结合俯视图可得此几何体是棱长为 的正方体的一部分,如图, 4 6 4 2 4 4 2 212 1 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2 (2 2 2) 6 4 2 S 22 3π4 2π34 3π34 3π22
四棱锥 ,所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球, 外接球的直径等于正方体的体对角线长,即 , 所以外接球的半径 ,此几何体的外接球的体积 .
2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】由三视图可知,原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥(如下图), 三棱柱的底面是边长为 的等边三角形,高为 , 三棱锥的底面为 , , 可求出等腰三角形 的面积为 , 该几何体的表面积为 .
E ABCD 2 2 3 R 3 R 34π4 3π3V R 6 7 3 10 3 12 3 122 21 1PC B21 11 2 5 PC PB 1 1PC B 21 3 22 2 (1 2) 2 2 2 2 12 32 2 2
3.已知某几何体的三视图如图所示,若该几何体的外接球体积为 ,则 (
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】由三视图知几何体为三棱锥,且三棱锥的一个侧面与底面垂直,其直观图如图:
为 的中点, ∵正视图和俯视图都是等腰直角三角形, 底面 , , ∴几何体的外接球的球心为 是 的外心,半径为 ,该几何体的外接球体积为 , ∴外接球的体积 , , .
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A 32π3h=13 2 6 2 3 3O ACFO^ ABC 1 OB OC OA = = =E ACD △ r32π334 32ππ3 3V r = ? 2 r = 2 3 h =56 2 34 32 2 34 56 8 3 32 8 2
【解析】该几何体的直观图如图所示.易知 , , ,, , , 所以 , , , , 所以该几何体的表面积 .
5.“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件,从最初的承重作用,到明清时期集承重与装饰作用于一体,在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间,从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱,拱与拱之间垫的方形木块叫斗,如图所示,是“散斗”(又名“三才升”)的三视图,则它的体积为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】由已知中的三视图可得该几何体下半部分是一个下底面边长为 上底面边长为 的正方形、高为 的棱台,上半部分为一个棱柱,截去中间一个小棱柱,所得的组合体,如图, 棱台的体积为 , PB BC PD DC 5 PD PA 4 2 AD 8 AB 3 PE 14 5 102PBC PCDS S △ △14 2 17 2 342PADS △18 3 122PABS △1(4 8) 4 242ABCDS 56 2 34 S 973853537333 4111 371 (3 3 4 4 3 3 4 4)3 3V
上半部分的体积为 , ∴ .
6.已知某几何体的三视图如下所示,若网格纸上小正方形的边长为 ,则该几何体的表面积为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】依题意,该几何体为长方体里面挖掉了一个圆锥,故所求表面积.
二、填空题 7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
. 21.5 4 4 1 2 4 24 8 16 V 37 85163 3V 115112 ( 1)π3 17112 ( 1)π3 112 ( 15 1)π 112 ( 17 1)π 24 5 4 4 4 2 π 1 π 1 17 112 ( 17 1)π S
【答案】
【解析】由三视图可知,该几何体是一个圆柱,圆柱的底面半径 ,圆柱的高 , 所以圆柱的表面积为 . 8.如图,网格纸上小正方形的边长为 ,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的体积为______.
【答案】
【解析】根据几何体的三视图找到对应的几何体原图是如图所示的三棱锥 , 其中 , 的面积为 , 所以三棱锥 的体积为 .
三、解答题 8π1 r 3 h22π 2π 2π 1 2π 1 3 8π r rh 2163C ABD 2 BD ABD △12 4 42 C ABD 1 1 162 4 43 2 3V
9.已知一几何体的三视图如图所示,它的侧视图与正视图相同.
(1)求此几何体的体积; (2)求几何体的表面积. 【答案】(1)
;(2)
. 【解析】(1)由题知该几何体是一个正四棱柱(上面)和半个球(下面)构成的几何体.
正四棱柱的底面对角线为 ,所以底面边长为 ,高为 ,半球的半径为 . 所以 . (2)
. 10.已知一个几何体的三视图如图所示. 168 2 π3 16 12π 4 2 2 2 231 1 4 16= 4 4 2 π 2 8 2 π2 2 3 3V V V 四棱柱 半球2 21+ 4 2 2 2 4π 2 π 2 16 12π2S S S S 圆 四棱柱侧 半球
(1)求此几何体的表面积; (2)如果点 , 在正视图中所示位置, 为所在线段中点, 为顶点,求在几何体侧面的表面上,从 点到 点的最短路径的长. 【答案】(1)
;(2)
. 【解析】(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体, 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和. , , , 所以 . (2)沿 点与 点所在母线剪开圆柱侧面,如图.
则 , 所以从 点到 点在侧面上的最短路径的长为 .
PQPQPQ 22 5 π S a 表21 π a 212π 2 2π2S a a a 圆锥侧 22π 2 4π S a a a 圆柱侧2π S a 圆柱底 2 2 2 22π 4π π 2 5 π S a a a a 表PQ 2 2 2221 π π PQ AP AQ a a a PQ21 π a