解三角形 类型一:求面积、周长的最值 1.(2020 届山东模拟)平面四边形 ABCD 中,边 BC 上有一点 E ,ADC 120 ,AD 3 ,sin ECD 32 , DE 3 ,CE 43 3。
(1)求 AE 的长; (2)已知ABC 60 求 ABE 面积的最大值.
解(1)在 CED 中由正弦定理可得CDE CDECEECDDE sin43 3323,sin sin即 , ,21sin CDE 因为 DE CE ,所以 CDE 是锐角,故 30 CDE , 90 ADE , 在直角三角形 ADE 中, 3 2 , 12 3 3 22 2 2 AE DE AD AE . (2)在 ABE 中, 60 , 3 2 ABC AE ,由余弦定理可得:
BE AB BE AB BE AB BE AB AE 2 2 2 2 212 , 60 cos 2
因为 12 , 2 12 , 22 2 BE AB BE AB BE AB BE AB BE AB
从而, 3 34360 sin21 BE AB BE AB S
2.(2020 届济宁)已知 ABC 内接于单位圆,且 1 1 2 tanA tanB , 1 求角 C 2 求 ABC 面积的最大值. 解:
1 1 1 2 tanA tanB
1 tanA tanB tanA tanB , 11tanA tanBtanC tan A BtanAtanB , 3C 0,4C
2 ABC 的外接圆为单位圆,
其半径1 R
由正弦定理可得 2 2 c RsinC , 由余弦定理可得2 2 22 c a b abcosC , 代入数据可得2 22 2 a b ab 2 2 2 2 ab ab ab ,当且仅当 a=b 时,“=”成立 22 2ab , ABC 的面积1 1 2 2 12 2 2 2 2S absinC , B A C 面积的最大值为:2 12
3.(2020 届济南)在平面四边形 ABCD 中,已知 AB=2 ,AD=3,∠ADB=2∠ABD,∠BCD= . (1)求 BD; (2)求△ BCD 周长的最大值.
解:(1)在△ ABD 中,由正弦定理得:
= =2cos∠ABD, ∴cos∠ABD= , ∴cos∠ABD= = = , 即:BD 2 ﹣8BD+15=0, 解得:BD=3 或 5; (2)在△ BCD 中,∠BCD= ,由余弦定理得:cos∠BCD= = , ∴BC 2 +CD 2 ﹣BD 2 =BC×CD, ∴(BC+CD)
2 =BD 2 +3BC×CD,
由基本不等式得:
, ∴(BC+CD)
2 ≤ , ∴ , ∴(BC+CD)
2 ≤4BD 2 , 当 BD=3 时,BC+CD≤6,即 3<BC+CD≤6,所以 6<BC+CD+BD≤9, 当 BD=5 时,BC+CD≤10,即 3<BC+CD≤10,所以 6<BC+CD+BD≤13 所以△ BCD 周长的最大值为:9 或 13.
4. (2020 届济南)在 ABC 中,角 , , A B C 的对边分别为 , , a b c ,已知 4 a ,tan tantan tanA B c bA B c . (1)求 A 的余弦值; (2)求 ABC 面积的最大值. 解:(1)由tan tantan tanA B c bA B c ,得(tan tan ) 2tantan tanA B B c bA B c ,即2tan1 1tan tanB bA B c , ∴2tantan tanB bA B c,又由正弦定理sinsinb Bc C ,可得2tan sintan tan sinB BA B C, 即2sin sin sinsin sincos cos cosB A BC BB A B ,由 sin 0 B , 整理得:
2sin cos sin cos cos sin sin( ) sin C A A B A B A B C , 由 sin 0 C ,得1cos2A . (2)由(1)知3A ,则由余弦定理可得2 2 2 2 22 cos 2 a b c bc A b c bc bc bc bc … , 当且仅当 b c 时等号成立,即216 bc a „ .
所以1 1 3sin 16 4 32 2 2ABCS bc A „ .
5. (2020 届江门)在 ABC 中,角 , , A B C 的对应边分别为 , , a b c . (1)若 , , a b c 成等比数列,12cos13B ,求cos cossin sinA CA C 的值; (2)若角, , A B C 成等差数列,且 =2 b,求ABC 周长的最大值 解:(1)在△ ABC 中,∵cosB=1213 B (0, ) ∴sinB=513 ∵a、b、c 成等比数列,∴b 2 =ac, ∴由正弦定理得 sin 2 B=sinAsinC, ∴cos cosCsin sinAA C =2sin(A C)sin B=2sinsinBB=1 13sin 5 B
(2)∵b=2,A、B、C 成等差数列, ∴2B=A+C=180°﹣B,∴B=60°,则 sinB=32, ∴由正弦定理,得4 3sin sin sin 3a b cA B C
∴4 3sin3a A ,4 3sin3c C
∵A+C=120°,即 C=120°-A, ∴△ABC 周长为 L=a+b+c=4 3(sinA sin ) 23C =4cos(A﹣60°)+2. ∵0<A<120°,∴﹣60°<A﹣60°<60°, ∴ 21cos(A﹣60°)≤1,∴4<4cos(A﹣60°)+2≤6, ∴当 A=B=C=60°时,△ ABC 周长 L 取得最大值为 6
6.(2020 届山东模拟).已知 ABC 的内角, , A B C 的对应边分别为 , , a b c , 在① 3cos cos cos sin C a B b A c C
② sin sin2A Ba c A
③ 22sin sin sin sin sin B A C B A
这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,当_______时,求 sin sin A B 的最大值. 解:若选①,则由正弦定理 3cos sin cos sin cos sin sin C A B B A C C , 3cos sin sin sin C A B C C , 3 tanC ,3C
若选②,则由正弦定理知:
sin sin sin sin2CA C A , cos sin 2sin cos2 2 2C C CC ,1sin2 2C ,3C
若选③,则有正弦定理知 22b a c bc , 2 2 2b a c bc ,由余弦定理知:1cos2C ,3C , 23A B ,2sin sin sin sin3A B A A 3 1sin cos sin2 2A A A 23 1 3 1sin cos sin sin2 1 cos22 2 4 4A A A A A 1 1sin 22 6 4A 20,3A ,72 ,6 6 6A ,所以当3A 时, sin sin A B 的最大值是34.
7.(2020 届江西调研)设 ABC 的内角 A,B,C 的对边长 a,b,c 成等比数列, 2cos 2sin 12A C B ,延长 BC 至 D 使 3 BD . (1)求 B Ð 的大小; (2)求CD AC 的取值范围. 解:(1)依题可得:
1cos cos2A C B , 1cos cos2A C A C , 1cos cos4A C ① 又因为长 a,b,c 成等比数列,所以2b ac ,由正弦定理得:2sin sin sin B A C ② ① ②得:21sin cos cos sin sin4B A C A C ,
化简得:24cos 4cos 3 0 B B ,解得:1cos2B ,又 0 B ,所以3B , (2)① ②得:
cos 1 A C ,即 0 A C ,即 A C ,即三角形 ABC 为正三角形, 设 ABC 的边长为 x,由已知可得 0 3 x , 则 1cos 3 cos 33 2AC CD AC CD ACD x x x x uuur uuur uuur uuur 21 9 9 93 0,2 4 4 8x x (当且仅当32x 时取等号). CD AC 的取值范围90,8 .
8.(2020 届合肥)已知函数 . (1)求函数 f(x)在[0,π]上的单调递减区间; (2)在锐角△ ABC 的内角 A,B,C 所对边为 a,b,c,已知 f(A)=﹣1,a=2,求△ ABC的面积的最大值. 解:(1)利用三角公式化简变形由已知得 . ∴ ,∴ (k∈Z)
∴函数 f(x)在[0,π]的单调递减区间为 和 . (2)∵△ABC 为锐角三角形,∴ , 又 ,即 . ∵a 2 =b 2 +c 2 ﹣2bcosA=b 2 +c 2 ﹣bc≥2bc﹣bc=bc,又 a=2,∴bc≤4, ∴ .当且仅当 b=c=2 时,△ ABC 的面积取得最大值 .
9. (2020 届惠州)在 ABC 中,已知内角 , , A B C 所对的边分别为 , , a b c ,向量 ( 3, 2sin ) m B , 向量 (cos ,cos2 ) n B B ,且 / / m n ,角 B 为锐角。
(1)求角 B 的大小; (2)若 2 b ,求 ABC 面积的最大值。
解:(1)由 / / m n 得 3cos2 = 2sin cos B B B , 即 sin23cos2 B B 所以 tan2 3 B
B 为锐角, 2 (0, ) B , 223B , 即3B
(2)
, 23B b , 由余弦定理2 2 2cos2a c bBac , 得2 24 0 a c ac
又2 22 a c ac 代入上式得 4 ac , 当且仅当 2 a c 时取等号成立.
1 1 3 3sin 32 2 2 4ABCS ac B ac ac , 故 ABC 的面积最大值为 3 .
10.(2020 届惠州)已知 ABC 的内角 A、B、C 满足sin sin sin sinsin sin sin sinA B C BC A B C . (1)求角 A; (2)若 ABC 的外接圆半径为 1,求 ABC 的面积 S 的最大值. 解:(1)由正弦定理可得a b c bc a b c ,化简得2 2 2b c a bc , 由余弦定理2 2 2cos2b c aAbc 得1cos2 2bcAbc , 又因为 0 A ,所以3A . (2)解法一:由正弦定理得 2 2 sin 2sin 3sin 3aR a R AA ,
由余弦定理得2 23 2 b c bc bc bc bc , 即 3 bc ,(当且仅当 b c 时取等号)
故1 1 3 3 3sin 32 2 2 4S bc A (当且仅当 b c 时取等号). 即 ABC 面积 S 的最大值为3 34 解法二:由正弦定理:
2 2sin sinb cRB C , 2sin b B , 2sin c C
1 1sin (2sin ) (2sin ) sin 3sin sin2 2 3S bc A B C B C , A B C ,1 3sin sin( ) sin sin cos3 2 2B A C C C C 23 3 3 3sin cos sin sin2 (1 cos2 )2 2 4 4S C C C C C
3 3 1 3 3 3sin2 cos2 sin 22 2 2 4 2 6 4C C C 203C ,∴当 26 2C ,即3C 时, 即 ABC 面积 S 的最大值为3 34
类型二:求面积 1. (2020 届济南)
ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 cos cos 2 c A a C a . (1)求ab的值; (2)若 1 a , 7 c ,求 ABC 的面积. 解:(1)由正弦定理, cos cos 2 c A a C a 可化为 sin cos cos sin 2sin C A C A A ,也就是 sin() 2sin A C A . 由 ABC 中 A B C 可得 sin() sin( ) sin A C B B . 即 sin 2sin B A .由正弦定理可得 2 b a ,故12ab . (2)由 1 a 可知 2 b .而 7 c ,由余弦定理可知2 2 21cos2 2a b cCab .
又 0 C ,于是23C . 1 1 2 3sin 1 2 sin2 2 3 2ABCS ab C .
2.(2020 届济南)已知函数 ( ) 2cos sin6f x x x . (1)求 ( ) f x 的最小正周期; (2)在 ABC △ 中,角 , , A B C 所对的边分别为 , , a b c ,若 ( ) 1 f C , sin 2sin B A ,且 ABC △ 的面积 解:(1)
3 1 12cos sin cos sin 22 2 6 2f x x x x x , f x 的最小正周期为 T
(2)
1sin 2 16 2f x C ∴1sin 26 2C 1326 6 6C ,∴526 6C ,3C ∵ sin 2sin B A ,∴ 2 b a
又 ABC △ 的面积为 2 3 ,∴1sin 2 32 3ab
∴ 8 ab , 2 a , 4 b 由余弦定理得 2 3 c
3. (2020 届济南)已知 a,b,c 分别为△ ABC 内角 A,B,C 的对边,a=2.设 F 为线段 AC上一点,CF= 2 BF.有 下列条件:①c=2;②b= 2 3 ;③2 2 23 a b ab c . 请从这三个条件中任选两个,求∠CBF 的大小和△ ABF 的面积. 解:选①②,则 2, 2 3 a c b . 由余弦定理可得2 2 21cos2 2a c bABCac
又 20,3ABC ABC ,所以
所以6A C
在 BCF 中,由正弦定理 2sin sinCF BFCF BFCBF C ,及
可得2sin2CBF , 又23 4CBF CBA CBF ,所以 , 所以512ABF AFB ,所以 2 AF AB
所以12 2sin 12 6ABFS
选②③,因为2 2 22, 2 3, 3 a b a b ab c ,所以 2 c . 由余弦定理可得2 2 23cos2 2a b cCab
又 0, C ,所以6C
所以2,6 3A C ABC A C
在 BCF 中,由正弦定理 2sin sinCF BFCF BFCBF C ,及
可得2sin2CBF , 又23CBF CBA ,所以4CBF , 所以512ABF AFB ,所以 2 AF AB
所以12 2sin 12 6ABFS
选①③,由余弦定理可得2 2 23cos2 2a b cCab
0,6C C ,所以 , 因为 ,6a c A C 所以 , 所以23ABC A C
在 BCF 中,由正弦定理 2sin sinCF BFCF BFCBF C ,及 , 可得2sin2CBF ,
又23 4CBF CBA CBF ,所以 , 所以5212ABF AFB AF AB ,所以
所以12 2sin 12 6ABFS
4.(2020 届深圳)在 ABC 中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知cos 2cos 2cosA C c aB b . (1)求ca的值; (2)若1cos4B , 2 b ,求 ABC 面积 S. 解:(1)由正弦定理, cos 2cos 2sin sincos sinA C C AB B
sin cos 2sin cos 2cos sin cos sin B A B C B C B A
sin cos cos sin 2cos sin 2sin cos B A B A B C B C
sin 2sin A B B C ,根据内角和有 sin 2sin sin 2sin C A C A . 根据正弦定理有 2 c a ,即 2ca . (2)由余弦定理有2 2 22 cos b a c ac B ,由(1) 2 c a ,代入1cos4B , 2 b
即2 2 214 4 4 14a a a a .故 2 c .又因为 0, B ,215sin 1 cos4B B . 故1 15sin2 4S ac B = = .
5.(2020 届珠海)如图,点 A在 BCD 的外接圆上,且3sin5A ,A为锐角, 5 AD CD ,3 5 BD .
(1)求 AB ; (2)求四边形 ABCD 的面积. 【详解】解:(1)∵3sin5A ,A为锐角,∴4cos5A ,在 ABD △ 中由余弦定理得:2 2 22 cos BD AD AB AD AB A
28 20 0 AB AB ,得 10 AB 或 2 AB (舍去),∴ 10 AB
(2)由(1)可知1 1 3sin 10 5 152 2 5ABDS AB AD A △ ∵ ABCD 四点共圆,∴ A C ,∴3sin5C ,4cos5C ,在 BCD 中由正弦定理得:sin sinBD CDC DBC,即3 5 53sin5DBC,得5sin5DBC 2 5cos5DBC
sin sin( ( )) sin( ) BDC DBC BCD DBC BCD 5 4 2 5 3 2 55 5 5 5 25 ∴1 1 2 5sin 3 5 5 32 2 25BCDS BD CD BDC △ ∴四边形 ABCD 面积 15 3 18 S
6.(2020 届广东调研)设函数23( ) 3sin cos sin2f x x x x ,a,b,c 分别为 ABC 内角 A,B,C 的对边.已知 ( ) 0 f A , 2 b . (1)若 2 3 a ,求 B; (2)若 2 a c ,求 ABC 的面积. 解(1)3 1 cos2 3( ) sin2 sin 2 12 2 2 6xf x x x ,
因为 ( ) 0 f A ,所以 26 2A ,即3A .
因为sin sina bA B ,所以sin 1sin2b ABa ,
因为 (0, ) B ,所以6B 或56,
又 b a ,所以6B .
(2)由余弦定理,可得2 2 2(2 ) 2 2 2cos3c c c ,
即23 2 4 0 c c ,解得1 133c (负根舍去),
故 ABC 的面积为1 1 1 13 39 3sin 2 sin2 2 3 3 6bc A
7. (2020届东莞)如图,在 ABC 中,内角 A B C , , 所对的边分别为 a b c , , ,且 2c o s 2 a C c b . (1)求角 A 的大小; (2)若6ABC , AC 边上的中线 BD 的长为 7,求 ABC 的面积.
解:(1)由 2 cos 2 a C c b 及正弦定理,得 2sin cos sin 2sin A C C B . 即 2sin cos sin 2sin A C C A C , 整理得 sin 2sin cos C C A , 因为 sin 0 C ,所以1cos2A , 又因为 0 A , ,则23A (没写角的范围扣 1 分). (2)由(1)知23A ,又因为6ABC , 所以6C , 所以 AC AB . 设 AD x ,则 2 AB x , 在 ABD 中应用余弦定理,得2 2 22 cos BD AB AD AB AD A , 即27 7 x ,解得 1 x , 故 ABC 的面积21 24 sin 32 3S x .
类型三:求边长 1.(2020 届江门)在 ABC 中,边, , a b c 所对的角分别为 , , A B C ,已知 a c , ABC 的面积为 2 2 , 2sin sin sin3A B C A , 3 b . (1)求 sinB 的值;
(2)求边 a , c 的值. 解:
(1)由 2sin sin sin3A B C A , ( ) C A B
得 2sin cos cos sin sin sin3A B A B A B A , 即22sin cos sin3A B A ,
0 A
sin 0 A ,1cos3B . 0 B
2 2sin3B .
(2)由余弦定理得:2 2 2 2 222 cos3b a c ac B a c ac , 得2 2293a c ac ①,
又1sin 2 22ABCS ac B , 6 ac ②,
由①②解得32ac ,或23ac , a c , 3 a , 2 c .
2.(2020 届惠州)在 ABC △ 中,角 , , A B C 的对边分别为 , , a b c ,已知 2 a , 5 b , 2 B A . (1)求 cos A ; (2)求 c 边的值. 解(1)由正弦定理sin sina bA B
得2 5sin sin2 A A
即2 5sin 2sin cos A A A
因为 sin 0 A ,可解得5cos4A . (2)由余弦定理2 2 22 cos a b c bc A 得2 2 252 ( 5) 2 54c c ,
整理得:22 5 2 0 c c
解得 2 c 或12c
当 2 c a 时,得 A C ,又因为 2 B A ,故 ,4 2A C B , 所以 2 b a ,与已知矛盾,所以 2 c 不满足要求. 当12c 时,经检验符合要求. 综上可知:12c .
3.(2020 届东莞)△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若
(1)求 A; (2)若 b=4,c=2,AM 为 BC 边上的中线,求 AM 的长. 解:(1)由 ,可得:sinC﹣sinAcosB sinBsinA,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB. ∴cosAsinB sinBsinA≠0,化为:tanA ,A∈(0,π). ∴A . (2)△ ABC 中,由余弦定理可得:a 2 =4 2 +2 2 ﹣2×4×2cos 12,解得 a=2 . ∴a 2 +c 2 =b 2 ,∴B . ∴AM .
4. (2020 届衡水调研)在 ABC 中,角, , A B C 的对边分别为 , , a b c ,若2cos3A ,2 B A , 8 b . (1)求边长 a ; (2)已知点 M 为边 BC 的中点,求 AM 的长度.
【详解】解:(1)由 0 A ,2cos3A ,得25sin 1 cos3A A , 所以5 2 4 5sin sin2 2sin cos 23 3 9B A A A , 由正弦定理sin sina bA B ,可得sin6sinb AaB . (2)222 1cos cos2 2cos 1 2 13 9B A A , 在 ABC 中, 22cos cos sin sin cos cos27C A B A B A B
在 ACM 中,由余弦定理得:2 2 23052 cos9AM AC CM AC CM C
所以,3053AM
5. (2020 届安徽皖南八校调研)
ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,5sin3A ,B 2A , b 4 . (1)求 a 的值; (2)若 D 为 BC 中点,求 AD 的长. 【详解】(1)
2 B A , 0,2A , 由5sin3A ,得2cos3A , 5 2 4 5sin sin2 2sin cos 23 3 9B A A A , 由正弦定理sin sina bA B ,可得54sin33sin 4 59b AaB , 所以, a 的值为 3. (2)222 1cos cos2 2cos 1 2 13 9B A A ,
22cos cos( ) sin sin cos cos27C A B A B A B ,
在 ACD 中,由余弦定理得 2 2 2 2 23 3 22 3052 cos 4 ( ) 2 42 2 27 36AD AC CD AC CD C , 解得3056AD , 所以3056AD . 6.(2020 届泉州)已知四边形 ABCD 中, 7 AC , 5 BC , 120 ABC . (1)求 ABC △ 的面积;
(2)若 ACD △ 是等边三角形,求 BD . 解:(1)
ABC △ 中,2 2 22 cos AC AB BC AB BC ABC , 化简得25 24 0 AB AB ,解得 3 AB 或 8 AB (舍去); 所以 ABC △ 的面积1sin2S BA BC ABC 1 33 52 2 15 34 . (2)
ABC △ 中,sin sinBC ACBAC ABC ,所以sin 5 3sin14BC ABCBACAC , 11cos14BAC . cos cos3BAD BAC 1 3cos sin2 2BAC BAC 1 11 3 5 32 14 2 14 1314
BAD △ 中,2 2 22 cos BD AB AD AB AD BAD 2 2133 7 2 3 714 19 , 所以 19 BD .
7.(2020 届济宁)如图,D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点, 3 AC DC .
(1)若 60 BAD ,求 ADC 的大小; (2)若 2 BD DC ,且 6 AB ,求 AD 的长. 解:(1)
) BAD 60 , BAC 90 , DAC 30 ,
在 ADC 中,由正弦定理可得:DC ACsin DAC sin ADC ,
AC 3sin ADC sin DACDC 2 ,
ADC 120 或 60 ,
又 BAD 60 , ADC 120
(2)
)BD 2DC , BC 3DC , 在 ABC 中,由勾股定理可得:2 2 2BC AB AC ,可得:2 29DC 6 3DC , DC 1 , BD 2 , AC 3 ,
令 ADB θ ,由余弦定理:
在 ADB 中,2 2 2AB AD BD 2AD BD cosθ ,
在 ADC 中, 2 2 2AC AD CD 2AD CD cos π θ ,
可得:26 AD 4 4ADcosθ23 AD 1 2ADcosθ , 解得:2AD 2 ,可得:
AD 2
8. (2020 届青岛)在 ABC 中, E , F 分别为线段 BC , AC 上的点, // EF AB ,3 AB , 2 EF ,
AE 2 3 ,3BAC . (1)求 EAC ; (2)求 BC 的长度.
解:(1)在 ABC 中:
// EF AB ,所以23AFE , 在 AFE 中由正弦定理知:1sinsin sin 2AE EFEAFAFE EAF , 又因为23AFE 为钝角,所以6EAF . (2)因为23AFE ,6EAF ,所以6AEF , 2 AF EF , 又因为 // EF AB , 3 AB , 2 EF ,所以 2CFAF ,即 6 AC , 在 ABC 中由余弦定理知:
2 2 22 cos 27 BC AB AC AB AC BAC , ∴ 3 3 BC .
类型四:求角度 1.(2020 届江门)在△ ABC 中,角 、 、 A B C 所对的边为 a b c 、 、 ,若2 2( ) 3 a c b ac ,点 D在边 AB 上,且 1 BD , DA DC . (1)若 BCD 的面积为32,求 CD 的长; (2)若 3 AC ,求 A 的大小. 解:(1)又由 223 a c b ac 可得2 2 2a c b ac
由余弦定理可得2 2 21cos2 2 2a c b acBac ac ,
0 B 所以3B
因为 BCD 的面积为32,即1 3sin , 12 2BC BD B BD ,所以 2 BC
BCD 中,由余弦定理,得2 2 212 cos 4 1 2 2 1 32CD BC BD BC BD B
所以 3 CD
(2)由题意得设 DCA A
△ ADC 中,由正弦定理, sin 2 sinAC CDA A 得32cosCD
① 在△ BCD 中,由正弦定理sin sinCD BDB DCB 即1 1sin sin 2sin 23 33CD ②
由①②可得 cossin 23 即 sinsin 22 3 由 22 3 ,解得18
由2 ,2 3 解得 .6
故18A 或6A .
2.(2020 届肇庆)已知在 ABC 中,角 A B C 、 、 对应的边分别为 a b c 、 、 , sin sin sin sin b B a C a A c C . (1)求角 B ; (2)若 1 c , ABC 的面积为34,求 C . 解:(1)由 sin sin sin sin b B a C a A c C 及正弦定理 可得2 2 2b ac a c
由余弦定理可得 2 2 2 2 21cos2 2 2a c b b ac bBac ac
又因为 0, B ,所以3B
(2)因为1 1 3 3sin2 2 2 4ABCS ac B a
所以 1 a .
又因为 1,3a c B ,所以 ABC 是等边三角形,所以3C
3.(2020 惠州)在平面四边形 ABCD 中,π3ABC ,π2ADC , 2 BC . (1)若 ABC △ 的面积为3 32,求 AC ; (2)若 2 3 AD ,π3ACB ACD , 求 tan ACD . 解:(1)在 ABC 中,因为 2 BC ,π3ABC , 1 3 3sin2 2ABCS AB BC ABC , 所以3 3 32 2AB ,解得 3 AB . 在 ABC 中,由余弦定理得2 2 22 cos 7 AC AB BC AB BC ABC , 因为 0 AC ,所以 7 AC .
(2)设 ACD ,则π π3 3ACB ACD .
在 Rt ACD 中,因为 2 3 AD ,所以2 3sin sinADAC .
在 ABC 中,ππ3BAC ACB ABC ,
B D C A
由正弦定理得sin sinBC ACBAC ABC ,即2 2 3π3sin( )sin32, 所以 2sin( ) sin3 ,所以3 12( cos sin ) sin2 2 ,
即 3cos 2sin ,
所以3tan2 ,即3tan2ACD .
4.(2020 届广州天河区)在锐角 ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c ,且3cos2 sin( ) 1 02A A . (1)求角 A 的大小; (2)若 ABC 的面积 3 3 S , 3 b .求 sinC 的值. 解:(1)3cos2 sin( ) 1 02A A . cos2 cos 1 0 A A ,可得:22cos cos 0 A A ,解得:1cos2A ,或 cos 0 A , ABC 为锐角三角形, 1cos2A , 可得:3A . (2)1 1 3sin 3 32 2 2ABCS bc A bc ,可得:
12 bc , 又 3 b ,可得:
4 c , 在 ABC 中,由余弦定理可知,2 2 212 cos 16 9 2 3 4 25 12 132a b c bc A , 13 a ,
在 ABC 中,由正弦定理可知:sin sina cA C ,可得:34sin 2 392sin13 13c ACa .