3.1.1 椭圆
【题组一 椭圆的定义】
1.(2020·全国高三其他(理))已知平面内两个定点 (3,0) M 和点 ( 3,0) N , P 是动点,且直线 PM , PN 的斜率乘积为常数 ( 0) a a ,设点 P 的轨迹为 C . ① 存在常数 ( 0) a a ,使 C 上所有点到两点 ( 4,0),(4,0)距离之和为定值; ② 存在常数 ( 0) a a ,使 C 上所有点到两点 (0, 4),(0,4) 距离之和为定值; ③ 不存在常数 ( 0) a a ,使 C 上所有点到两点 ( 4,0),(4,0)距离差的绝对值为定值; ④ 不存在常数 ( 0) a a ,使 C 上所有点到两点 (0, 4),(0,4) 距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是_______________.(填出所有正确命题的序号)
【答案】②④ 【解析】设点 P 的坐标为:P(x,y), 依题意,有:3 3y yax x , 整理,得:2 219 9x ya , 对于①,点的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆,且 c=4,a<0, 椭圆在 x 轴上两顶点的距离为:29 =6,焦点为:2×4=8,不符; 对于②,点的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆,且 c=4, 椭圆方程为:2 219 9y xa ,则 9 9 16 a ,解得:259a ,符合; 对于③,当79a 时,2 219 7x y ,所以,存在满足题意的实数 a,③错误; 对于④,点的轨迹为焦点在 y 轴上的双曲线,即2 219 9y xa , 不可能成为焦点在 y 轴上的双曲线, 所以,不存在满足题意的实数 a,正确. 所以,正确命题的序号是②④. 2.(2018·福建高二期末(理))已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,﹣4),C (0,4),则顶点 A 的轨
迹方程是(
)
A.2 2136 20x y (x≠0)
B.2 2120 36x y (x≠0)
C.2 216 20x y (x≠0)
D.2 2120 6x y (x≠0)
【答案】B 【解析】∵△ABC 的周长为 20,顶点 B (0,﹣4),C (0,4), ∴BC=8,AB+AC=20﹣8=12, ∵12>8∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值,∴点 A 的轨迹是椭圆, ∵a=6,c=4∴b 2 =20, ∴椭圆的方程是 2 21 020 36x yx 故选 B. 3.(2020·全国高三其他(文))已知椭圆2 2125 16x y , 3,0 A , 2,1 B ,点 M 是椭圆上的一动点,则MA MB 的最小值为(
)
A. 62 B. 102 C. 112 D. 122 【答案】B 【解析】由题意知 A 为椭圆的右焦点,设左焦点为1F ,由椭圆的定义知110 MF MA , 所以110 MA MB MB MF . 又1 1MB MF BF ,
如图,设直线1BF 交椭圆于1M ,2M 两点.当 M 为点1M 时,1MB MF 最小,最小值为 102 .故选:B
4.(2019·湖北襄阳。高二期中)椭圆2 219 4x y 的左右焦点分别为1 2, F F ,点 P 在椭圆上,若14 PF ,则1 2FPF ________. 【答案】
90
【解析】根据题意,椭圆2 219 4x y ,其中 3 a , 2 b ,则 5 c , 点 P 在椭圆上,若1| | 4 PF ,则2 1| | 2 | | 6 4 2 PF a PF , 在△1 2FPF 中,1| | 4 PF ,2| | 2 PF ,1 2| | 2 2 5 FF c , 则2 2 21 2 1 2| | | | | | PF PF FF ,则有1 290 FPF ,故答案为 90 . 5. (2020·上海高二课时练习)椭圆2 2125 9x y 上一点 M 到左焦点1F 的距离为 2, N 是1MF 的中点,则 ON等于______ 【答案】
4
【解析】:根据椭圆的定义:
,所以 , 是1MF 中点, 是 的中点,所以. 【题组二 椭圆定义的运用】
1.(2019·吉林省实验高二期末(理))方程 x 2 +ky 2 =2 表示焦点在 x 轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是
(
)
A. 0 k
B. 12 k
C. 1 k
D. 0 1 k
【答案】B 【解析】方程 x 2 +ky 2 =2 可变形为:2 2122x yk ,表示焦点在 x 轴上的椭圆,则有:20 2k , 解得 k 1 .易知当 1 2 k 时, k 1 ,当 k 1 时未必有 1 2 k ,所以 1 2 k 是 k 1 的充分但不必要条件.故选 B. 2. (2018·天津静海一中高二期末(理))已知方程2 212 1x ym m 表示椭圆,则实数 m的取值范围是(
)
A. (, 1)
B. ( 2, )
C.3( , )2 ( 1, )
D.3 3( 2, ) ( , 1)2 2
【答案】D 【解析】
2 1 0 m m ,且 2 1 m m ,所以322m 或312m . 故选 D. 3.(2019·福建城厢.莆田一中高二期中)“ 1 4 k ”是“方程2 214 1x yk k 表示的曲线为椭圆”的(
)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若方程表示椭圆,则4 01 04 1kkk k ,解得:512k 或542k
5{ 12k k 或54}2k 是 1 4 k k 的真子集,所以“ 1 4 k ”是“方程2 214 1x yk k 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选:B 4.(2020·四川射洪中学高二期中(文))若椭圆 C :2 2211x ym m 的一个焦点坐标为 0,1 ,则 C 的长轴长为(
)
A.3
B.2 C. 2 2
D. 2 3
【答案】D 【解析】由于方程2 2211x ym m 为椭圆,且焦点 0,1 在 y 轴上,所以22201 011 1mmm mm m ,解得 2 m ,所以22 1 3 a ,长轴长为 22 3 a .故选:D 5.(2020·湖北江岸.武汉二中高二期末)
0 1 m 是方程2 212 1x ym m 表示椭圆的(
). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】B 【解析】若方程2 212 1x ym m 表示椭圆,则有2 01 02 1mmm m ,解得 0 1 m 且13m
所以 0 1 m 是方程2 212 1x ym m 表示椭圆的必要不充分条件故选:B 6.(2020·江西九江一中高二月考(理))方程2 214x ym 表示椭圆的一个必要不充分条件是(
)
A.m>0 B.m>4 C.m>0 且 m≠4 D.m<0 【答案】A 【解析】若方程2 214x ym 表示椭圆,则 m>0 且 m≠4, ∴m>0 是方程2 214x ym 表示椭圆的一个必要不充分条件,故选:A 7.(2019·浙江高三其他)已知 p:方程2 215 3x yk k 表示椭圆,q:
5 3 k .则 p 是 q 的(
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若方程2 215 3x yk k 表示椭圆,则5 0,3 0,5 3 ,kkk k 解得 5 3 k 且 1 k , 易知 p 可以推出 q ,但是 q 不能推出 p ,故 p 是 q 的充分不必要条件.故选:A. 8.(2020·广西钦州一中高三开学考试(理))设椭圆 C:2 22 21x ya b (a>0,b>0)的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为32.P 是 C 上一点,且1F P ⊥2F P .若1 2PFF △ 的面积为 4,则 a=(
)
A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C
【解析】23 ca,2 23 4 a c ,由椭圆定义,1 22 PF PF a , 由1F P ⊥2F P 得 2 221 2| | 2 PF PF c , 1 2PFF △ 的面积为 4,则1 21| | 42PF PF ,即1 2| | 8 PF PF , 221 2 1 22 4 PF PF PF PF c ,即2 24 16 3 a a ,解得216 a ,即 4 a ,故选:C. 【题组三 椭圆的标准方程】
1.(2020·四川青羊.树德中学高三月考(文))已知椭圆 C 的焦点为1 ( 1,0)F ,2 (1,0)F .过点1F 的直线与 C交于 A , B 两点.若2ABF 的周长为 8,则椭圆 C 的标准方程为(
). A.2 2116 15x y
B.2 218 7x y
C.2 214 3x y
D.2 213 4x y
【答案】C 【解析】根据椭圆的定义知2ABF 的周长为 4 8 a ,∴ 2 a ,又 1 c ,,∴2 2 23 b a c , ∴椭圆 C 的标准方程为2 214 3x y . 2.(2020·四川外国语大学附属外国语学校高一期末)过点 ( 3 2) , 且与2 219 4x y 有相同焦点的椭圆的方程是( )
A.2 2115 10x y
B.2 21225 100x y
C.2 2110 15x y
D.2 21100 225x y
【答案】A 【解析】椭圆2 219 4x y , ∴焦点坐标为:(5
,0),(- 5 ,0),c= 5 , ∵椭圆的焦点与椭圆2 219 4x y 有相同焦点
设椭圆的方程为:2 22 2+x ya b=1, ∴椭圆的半焦距 c=5 ,即 a2 -b 2 =5 结合2 29 4+ 1a b ,解得:a 2 =15,b 2 =10 ∴椭圆的标准方程为 2 2115 10x y ,故选 A. 3.(2020·上海高二课时练习)中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 8,且过点(3,0)的椭圆方程为(
). A.2 2125 9x y
B.2 219 25x y
C.2 2125 9x y 或2 219 25x y
D.2 219 16x y 或2 2116 9x y
【答案】B 【解析】因为焦距为 8,所以 2 8 c ,即 4 c
又因为椭圆的焦点在 y 轴上,且过点(3,0),所以23, 25 b a ,所以椭圆的方程为2 219 25x y . 故选:B 4.(2019·山西高三开学考试(文))在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点1F 、2F 在 x 轴上,离心率为22,过1F 的直线 l 交 C 于 A 、 B 两点,且2ABF 的周长为 16,那么 C 的方程为(
)
A.2 2136 18x y
B.2 2116 10x y
C.2 214 2x y
D.2 2116 8x y
【答案】D 【解析】根据题意,2ABF 的周长为 16,即2 2 1 116 BF AF BF AF , 根据椭圆的性质,有 4 16 a ,即 4 a ;椭圆的离心率为22,即22ca,则2 a c ,故2 2 c ,
则2 2 28 b a c ,则椭圆的方程为2 2116 8x y ,故选:D. 5.(2020·福建高二期末(文))焦点在