椭圆、双曲线、抛物线 的标准方程及性质( 学案) 【一 】
知识回顾
定义 标准方程 焦点、 准线 性质 对称性 顶点 范围 渐近线 椭圆 圆
双曲线 线
抛物线 线
几个重要的公式 中点公式 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ) 线段 AB 的中点 M（
）
韦达定理 方程 2 12, 0, 0x x AC Bx Ax两根 求根公式 2 , 1x
2 1x x
2 1 xx
弦长公式
抛物线的焦点弦
【二 】例题选讲 1. 已知 0 , 2 , 0 , 2 B A
（1）动点 P 满足 10 PB PA ，则 P 的轨迹方程是
； （2）动点 P 满足 4 PB PA ，则 P 的轨迹方程是
； （3）动点 P 满足 2 PB PA ，则 P 的轨迹方程是
； 2. 已知2 1 ,FF 椭圆 18 162 2 y x的左、右焦点，过左焦点的直线交椭圆于 A，B两点，如图 1 所示，则2ABF 周长为
. 3. 已知2 1 ,FF 双曲线 0 , 0 , 1222 b abyax的左、右焦点，过左焦点的直线交左支于 A，B 两点，且 m AB ，如图 2 所示，则2ABF 周长为
. 4. 抛物线 x y 22 上的点 M 到其焦点 F 的距离为23，则 M 的坐标是
. xyF 1OABF 2图 1 xyF 1OF 2BA图 2
5. 已知椭圆 15 32222 nymx和双曲线 13 22222 nymx有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程是
. 6. 以双曲线 116 92 2 y x的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是
. 7. 已知双曲线 C 经过点 (1,1) ，它的一条渐近线方程为 3 y x ，则双曲线 C 的标准方程是
. 8. 椭圆 C：
x29 ＋y22 ＝1 的焦点为F 1 、 F 2 ，点 P 在椭圆上 （1）若| PF 1 |＝4，求| PF 2 |及∠ F 1 PF 2 的大小； （2）若2 1PF PF ，求2 1 FPF 的面积.
9. 正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y = x +4 上， C 、D 两点在抛物线 y2 = x上，求正方形 ABCD 的面积.
10. 已知动点 P 到两个定点1 2( 1,0), (1,0) F F 的距离1 2, PF PF 的等差中项为 2 . （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）直线 l 过圆2 24 0 x y y 的圆心 Q 与曲线 C 交于 , M N 两点，且 0 ON OM ( O 为坐标原点)，求直线 l 的方程.
【三】课后练习
1. 若椭圆 1 22 2 ky kx 的一个焦点是 4 , 0 ，则 k
. 2. 双曲线 19 42 2 y x的顶点坐标是
，渐近线方程是
. 3. 抛物线24x y 的焦点坐标是
，准线方程是
. 4. 经过椭圆 15 92 2 y x和 19 52 2 y x的所有交点的圆的方程是
. 5. 设 双 曲 线 19 252 2 y x的 两 个 焦 点 为2 1 ,FF ， 点 P 在 双 曲 线 上 ， 且 121 PF ， 则2PF
. 6. 与双曲线 4 42 2 y x 有共同的渐近线，且过点 5 , 2 的双曲线方程是
. 7. F 是抛物线 x y 22 焦点，P 是抛物线上一点，且29 PF ，则 P 的坐标是
. 8. 已知两圆2 215:( 1)4O x y 和2 2245:( 1)4O x y ，动圆 P 与⊙O 1 外切，且与⊙O 2 内切，则动圆圆心 P 的轨迹方程是
. 9. 求抛物线22x y 上的点到直线 0 2 y x 的距离最小值.
10. 若直线 b x y 与抛物线 y x 22 交于 A，B 两点，且 OB OA ，求实数 b 的值.
11. 过抛物线 0 , 22 p px y 的焦点 F 作直线交抛物线于 2 2 1 1, , , y x B y x A 两点，求证：2 1 xx 及2 1 yy 均为定值.
12. 已知椭圆1C 的方程为2214xy ，双曲线2C 的左、右焦点分别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点。
（1）求双曲线2C 的方程； （2）若直线 : 2 l y kx 与双曲线 C 2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 2 OAOB （其中 O 为原点），求 k 的范围.
直线 与圆锥曲线的位置关系 （学案）
【一】
知识回顾 ：
直线与曲线的位置关系：相交、相切、相离，如何判断？
【二】
例题选讲
1. 过点 (0,1) 与抛物线22 ( 0) y px p 只有一个公共点的直线的条数是……………………（
）
( ) A 0 条
( ) B
1 条
( ) C 2 条
( ) D 3 条 2. 已知双曲线22: 14yC x
，过点 (1,1) P 作直线 l ，使 l 与 C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线 l 共有 …………………………………………………………………………………（
）
( ) A 1
条
( ) B 2 条
( ) C 3 条
( ) D 4 条 3. 直线 y=x+3 与曲线 14| |92 x x y……………………………………………………………（
）
（A）没有交点
(B)只有一个交点
(C)有两个交点
(D)有三个交点 4. 过抛物线 x y 42 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线…………………………………………………………………………………………（
）
（A）有且仅有一条
（B）有且仅有两条
（C）有无穷多条
（D）不存在 5. 求过点 1 , 0 M 且与抛物线22 y x 有且仅有一个公共点的直线方程.
6. 若直线 1 kx y 与双曲线 1322 yx 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围.
7. 已知抛物线 y2 =－ x与直线 y = k （ x +1）相交于 A 、 B 两点. （1）求证：以 AB 为直径的圆经过坐标原点； （2）当△ OAB 的面积等于 10 时，求 k 的值.
8. （1）已知直线 l 与抛物线 x y 42 交于 A，B 两点，若直线 l 过定点 0 , 4 M ，求证：
OB OA
（2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假，说明理由. 解（1）
解（2）逆命题：
【三】
课后练习
1 已知 M （－2，0）、 N （2，0），点 P 为坐标平面内的动点，满足 | | | | MN MP MN NP ＝0，则动点 P （ x ， y ）的轨迹方程为…………………………………………………………………（
）（ A ）x y 82
（ B ）
x y 82
（ C ）
x y 42
（ D ）
x y 42
2 直线 l 过点(5, 0)，与双曲线2214yx 只有一个公共点，则满足条件的 l 有…………（
）
（ A ）1 条
（ B ）2 条
（ C ）4 条
（ D ）无数条 3 过点（2，4）作直线与抛物线 y2 ＝8x 只有一个公共点，这样的直线有………………… （
）
（A）1 条
（B）2 条
（C）3 条
（D）4 条 4 椭圆 20 5 42 2 y x 的长轴长为
，短轴长为
，焦距为
. 5 动点 P 到定点 0 , 1 F 的距离比它到定直线 0 4 x 距离小 3，则 P 的轨迹方程为
. 6 若双曲线 0 , 0 , 12222 b abyax的顶点三等分焦距，则其渐近线方程是
. 7 以双曲线 15 42 2 y x的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是
． 8 直线 l 过点 M （1，1）且与椭圆42x+32y=1 相交于 A 、 B 两点，若 AB 的中点为 M ，求直线 l 的方程。
9 已知直线 y = kx +1 与双曲线 2 x2 ― y 2 =1 只有一个公共点，求 k 的值.
10 已知直线 l ：
0 m y x 及曲线 C：
2 22 2 y x
（1）当 m 为何值时，直线 l 与曲线 C 相交，相切，相离？
（2）当 m 为何值时，直线 l 截曲线 C 所得弦长为34？
（3）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当 m 为何值时，32ABOS ？
（4）当 m 为何值时，直线 l 截曲线 C 所得弦长最大，最大为多少？
（5）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当 m 为何值时，ABOS 最大，最大为多少？
（6）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且以 AB 为直径的圆过原点 O，求 m 的值.
圆锥曲线的综合应用 （学案）
【一】
例题选讲
1. 一抛物线形拱桥，当水面离桥顶 2 m 时，水面宽 4 m，若水面下降 1 m 时，则水面宽为________.
2. 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm，灯深 40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是________________ cm.
3. 在相距 1 400 m 的 A、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差 3 s，已知声速 340 m/s，建立恰当的坐标系，炮弹爆炸点所在曲线的方程为__________________.
4. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验． 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 125 1002 2 y x，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 764, 0 M
为顶点的抛物线的实线部分，降落点为) 0 , 8 ( D ．观测点 ) 0 , 4 ( A ) 0 , 6 ( B 同时跟踪航天器． （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 B A、 测得离航天器的
距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
. .
5. 左图是一种加热水和食物的太阳灶，是一种可利用太阳能资源的设备，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。已知镜口圆的直径为 12 m，镜深 2 m， （1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置； （2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度.
6. A 、 B 、 C 是我方三个炮兵阵地， A 在 B 正东 6 km ， C 在 B 正北偏西 30°，相距 4 km ， P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于 B 、 C 两地比 A 距 P 地远，因此 4 s 后， B 、 C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 1 km / s ， A 若炮击 P 地，求炮击的方位角．
P A B . C
【二】课后练习 1. 双曲线2 2110 2x y 的焦距为
，渐近线方程为
. 2. 若方程 11 2 22 2 mymx的曲线 C 是双曲线，则 m 的取值范围是
. 3. P 是双曲线 116 92 2 y x上一点，若|PF 1 |=7，则|PF 2 |=
. 4. 直线ｙ＝ｘ－3 与抛物线 x y 42 交于 A、B 两点，过 A、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P、Q ，则梯形 APQB 的面积为
. 5. 直线 2 y kx 交抛物线28 y x 于 A，B 两点，若 AB 中点的横坐标是 2,则 AB ________. 6. 设 F 1 是椭圆2 25 9 45 x y 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A（1，1）是一定点，则1PA PF 的最大值是____________. 7. 某抛物线形拱桥的跨度是 20 m，拱高是 4 m，在建桥时每隔 4 m 需用一柱支撑，求其中最长的支柱长多少米.
8. 某隧道横断面由抛物线及矩形三边组成，尺寸如图(单位:m)，某卡车空车能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽 3 m，车与箱共高 4.5 m，此车能否通过此隧道？请说明理由.
9. 已知点 0,2 A 及椭圆2214xy ，在椭圆上求一点 P ，使 PA 的值最大.
10. 在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点 (0 3) ， ， (0 3) ， 的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C ．
（Ⅰ）写出曲线 C 的标准方程； （Ⅱ）设直线 1 y kx 与 C 交于 A ， B 两点． k 为何值时 OA OB ？
11. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22 米，要求通行车辆限高 4.5 米，隧道全长 2.5 千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高 h 为 6 米，则隧道设计的拱宽 l 是多少？ （2）若最大拱高 h 不小于 6 米，则应如何设计拱高 h 和拱宽 l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？ （半个椭圆的面积公式为 lh S4 ，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到 0.1 米）