大学物理实验- - 多功能摆的设计与研究
单摆：
：理想单摆是一根没有质量，没有弹性的线，系住一个没有体积的质点，在真空中纯粹由于重力作用，在与地面垂直的平面内作摆角趋于零的自由振动的系统。
单摆的运动方程:
单摆的运动周期公式为
， 单 摆 法 测 量 重 力 加 速 度 的 公 式 : 式中 l 为摆线长度，T 为摆动周期，d 为小球的直径，L 为有效摆长，如图 1 所示。
实际单摆的周期公式为：
式中 T 是单摆的振动周期，l、m l 是单摆的线长和质量，d、m、ρ单摆的直径、质量和密度，ρ 0 是空气密度，θ是摆角。
2 2 ． 扭摆 ：将一根细金属棒（线）的上端固定，下端联结一转动惯量为 I 的物体，以金属棒为轴将物体扭转一小角度后松开，物体将左右扭动，这就是扭摆。
sin ) (222mgLdtdmL gLT 2 2222) 2 / ( 4 4Td lTLg 2 2022 1 (1 )20 12 2 2 16l lm m l d dTg l m l m 图１
扭摆的运动方程：
式中，c 为金属棒的扭转系数（ ）。
扭摆的扭动周期公式为
金属丝的切变模量 G 为
扭转系数 c 可以采用一个从理论上容易计算其转动惯量的物体来确定。如圆柱体、圆环、球体等，测量时一定要注意保持系统的转动轴不变。在本实验中，为了保持转动轴不变，我们采用的是两个质量和体积相同的钢球对称放置在摆杆上的作法。
如图 2 所示，将两个相同的钢球对称放置在摆杆上时，扭摆的摆动周期为
式中 I b 为钢球绕金属线为轴转动时的转动惯量，由平行轴定理可知：
实心球体绕过质心轴的转动惯量为:
当把钢球放在距离 d 1 处时有：
当把钢球放在距离 d 2 处时有：
上面两式相减并整理可得到扭摆法测量钢丝切变模量的公式：
式中 G 为金属棒的切变模量,L 为金属棒的有效长度，R 为金属cdtdI 22LG Rc24cIT 2 2 48T RLIG40) 2 ( 8GRI I LTb2md I Ic b 252mr I c 421 01) 2 2 ( 8GRmd I I LTc 422 02) 2 2 ( 8GRmd I I LTc ) () ( 16212242122T T Rd d LmG 图 2
棒的半径， I 0 为不放钢球时扭摆系统本身的转动惯量，Ic 为钢球绕其质心轴的转动惯量， 为一个钢球的质量， D 为钢丝的直径， 表示钢球位于 1 孔处其扭转半径为 时的摆动周期， 表示钢球位于 2 孔处其扭转半径为 时的摆动周期。
误差均分原理
误差均分原理（不确定度均分原理）是根据误差传递公式设计和选择测量仪器的一种方法。如用单摆法测量重力加速度 g，需要测量摆线长度 L 和摆动周期 T，如若要求测量 g 的精度，我们应如何确定被测量 L 和 T 的大小，应该选用什么精度的测长和计时仪器才能达到要求？我们就可以根据误差均分原理粗略估算一下。
用单摆法测量重力加速度 g 的公式为 ，间接测量量 g 的误差传递公式为
假设直接测量量 L 和 T 对 g 的误差贡献相同，则有：
如果单摆参数为：摆线长 ，摆球直径 ，摆动周期，可以得到 ， 。可以看出,摆长用米尺（Δ米 = 0.05cm ）测量即可，机械秒表Δ 机 =0.1s，电子秒表Δ 电子 =0.01s，测量者开、停秒表的反应时间近似为Δ 机 ≈0.2s,所以对于周期的测量要采用多周期测量法（也称累积放大法）才能达到要求。m1T1d2T2d% 1 ) ( g U rgLT 2 2 2224 ) ( TULUgUg UT Lgr22 2%) 1 (214 TULUT Lcm l 45 cm d 2 s T 3 . 1 cm U L 3 . 0 004 . 0 TU
测量周期数为 次。
是否达到设计要求，可根据测量数据和仪器性能指标等估算不确定度检验。
4 4 ．估算测量不确定度（误差）时的常用公式
等精度多次直接测量量 x 的算术平均值：
， 直 接 测 量 量 x 的 算 术 平 均 值 的 标 准 不 确 定 度 ：
， 直 接 测 量 量 x 在 置 信 概 率 为 p 时 的 总 不 确 定 度 : ， 对于单次测量量，只有 B 类不确定度。B 类不确定度一般有多项组成，如仪器误差，示值误差，估计误差等。但在教学实验中，我们一般只考虑仪器误差。不同的误差，其服从的分布是不同的，不同的分布，公式中的 C 不同，在教学实验中，一般只考虑仪器误差，且假定其都服从均匀分布，C 取为 。
对于有限次的测量，物理量并不服从正态分布，而是服从 t 分布，为了保持同样的置信概率，就要扩大置信区间，即把 的置信概率与乘以一个大于 1 的 因子， 因子可根据测量次数 n 和所用置信概率 p 查表得到。为了保持 A 类和 B 类两类不确定度所采用的置信概率一致，所以就有了合成公式中的 因子， 因子可根据所用置信概率 p 查表得到。
为测量 x 所用仪器的最大允许误差，它是仪器的一个技术指标，如果不知道的话，可以用其最小分度代替，也可以用其最小50004 . 02 . 0 nniixnx11nii x Ax xn nu12) () 1 (12 2) ( ) (Ck u t Uxp x A p x 3Auptptpkpkx
分度的一半代替。
对于各直接测量量相互独立的情况下，可得如下间接测量量 y的不确定度传递公式。
间接测量量 y 的（绝对）不确定度传递公式：
间接测量量 y 的相对不确定度传递公式：
相对不确定度与绝对不确定度之间的关系：
测量量的一般结果 表 达 式 ：
对于验证性实验, 其结 果 表 达 式 为 ：
5 5 ．本实验中所用不确定度传递公式
g 的相对不确定度传递公式：
G 的相对不确定度传递公式：
nixiyiUxyU122 nixiyriUxyyUy U122ln) () (y U y Ur y ? % 100?) ( ) ( yUUp U y yyry单位? % 100) ( 理论理论 测量测量单位yy yUy yr22222222122) (T d l rUTUd lUd lg U 222 2222 2222 2222 22 2 222224 ) ( d T d dD L MrUT TTUT TTUd ddUd ddDULUMUG U